Enunciado

Uma cultura de bactérias cresce com uma taxa de crescimento relativo constante. A contagem era 600 depois de duas horas e 75000 depois de oito horas.

a) Qual a população inicial da cultura?

b) Encontre uma expressão para a população depois de t horas.

c) Ache o número de células após cinco horas.

d) Encontre a taxa de crescimento após cinco horas.

e) Quando a população será de 200000 ?

Passo 1

O problema fala sobre o crescimento exponencial de uma população de bactérias, que é dado pela função

P t = P 0   e k t

Queremos encontrar P 0 e k sabendo que P 2 = 600 e P 8 = 75000 . Substituindo esses valores na expressão:

600 = P 0   e 2 k               e               75000 = P 0 e 8 k

Divindo uma equação pela outra, obtemos

P 0 e 8 k P 0 e 2 k = 75000 600

Assim,

e 6 k = 125 ⇒ 6 k = ln ⁡ 125 ⇒ k = ln ⁡ 125 6 ≈ 0,805

Portanto, voltando para a primeira equação:

600 = P 0   e 2 ⋅ ln ⁡ 125 6 = P 0   e ln ⁡ 125 3

Assim,

P 0 = 600 e ln ⁡ 125 3 = 600 e ln ⁡ 125 1 / 3 = 600 125 3 = 600 5

Portanto, a população inicial era

P 0 = 120

E, além disso, a a expressão para a população em função do tempo é

P t = 120   e 0,805   t

Passo 2

Para t = 5 , temos que

0 , 805   t = 0 , 805 ⋅ 5 = 4,025

Assim,

P 5 = 12 0 ⋅ e 4,025

Logo,

P 5 ≈ 6718

Para achar a taxa de crescimento, basta tomar a derivada:

d P d t = 0,805 ⋅ 12 0   e 0 , 805   t = 0 , 805   P

Assim,

d P d t 5 = 0 , 805 ⋅ P 5 ≈ 0 , 805 ⋅ 6718

Portanto,

d P d t 5 ≈ 5408

Passo 3

Por fim, queremos saber quando a população atingirá 200 000 bactérias. Portanto, queremo saber t quando P t = 20 0000 :

20 0000 = 120   e 0,805   t ⇒ e 0,805   t = 200 000 120 = 5000 3

Tomando o log:

0 , 805   t = ln ⁡ 5000 3 ⇒ t = ln ⁡ 5000 3 0,805

Logo,

t = 9,21   h

Resposta

P 0 = 120

P t = 120   e 0,805   t

P 5 ≈ 6718

d P d t 5 ≈ 5408

t = 9,21   h

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