Enunciado

Um pero assado é retirado do forno quando sua temperatura alcança 185   ° F e é colocado em uma mesa onde a temperatura é de 75   ° F .

a) Se a temperatura do peru for de 150   ° F depois de meia hora, qual será a temperatura dele após 45 minutos?

b) Quando terá o peru se resfriado a uma temperatura de 100   ° F ?

Passo 1

Este é um problema sobre a lei de resfriamento de Newton, dada pela equação diferencial

d T d t = k ( T - T s )

Chamando y = T - T s , a equação fica

d y d t = k y ⇒ y = A e k t

Note que A representa a diferença de temperatura inicial:

t = 0 ⇒ y = T 0 - T s = A

Portanto,

T ( t ) = T s + T 0 - T s   e k t

Essa é a solução geral para o problema do resfriamento exponencial!

Netse caso, temos T 0 = 185   ° F e T s = 75   ° F :

T t = 75 + 110 e k t

Passo 2

No item (a) sabemos que para t = 30   m i n T 30 = 150   ° F :

150 = 75 + 110 e 30 k ⇒ e 30 k = 75 110 = 15 22

Logo,

30 k = ln ⁡ 15 22 ⇒ k = - 0,013

Portanto,

T t = 75 + 110 e - 0,013 t

Para t = 45   m i n :

T 45 = 75 + 110 e - 0,013   ⋅   45

Logo,

T 45 = 136,3   ° F

Passo 3

No item (b) queremos achar t tal que T t = 100   ° F :

100 = 75 + 110 e - 0,013 t ⇒ e - 0,013 t = 25 110 = 5 22

Portanto,

0,013   t = ln ⁡ 22 5

Logo,

t = 114   m i n

Resposta

T 45 = 136,3   ° F

t = 114   m i n

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