Enunciado

Uma curva circular de raio R em uma autoestrada é inclinada em um ângulo de θ de modo que um carro possa passa pela curva sem derrapar quando não existe atrito entre a estrada e os pneus. A perda de arito ocorre, por exemplo, se a estrada está coberta com uma finna camada de água ou de gelo. A velocidade escalar nominal v R associada a uma curva é a velocidade escalar máxima que o carro pode atingir sem derrapar. Suponha que um carro de massa m esteja transpondo a curva com a velocidade nominal v R . Duas forma que atuam sobre o carro: a força vertical, m g , devido ao peso do carro, e uma forma F → exercida pela estrada, perpendicular a ela (ver figura).

A componente vertical de F → equilibra o peso do carro, de forma que F → cos ⁡ θ = m g . A componente horizontal de F → produz uma força centrípeta no carro de forma que, pela Segunda Lei de Newton e pela parte (d) do problema 23,

F →   s e n   θ = m v R 2 R

a) Mostre que v R 2 = R g tan ⁡ θ .

b) Determinar a velocidade escalar nominal associada a uma curva circular de raio 120   m que é inclinada em um ângulo de 12 ° .

c) Suponha que os engenheiros projetistas queiram manter a inclinação em 12 ° , mas desejem aumentar a velocidade escalar nominal em 50 % . Nesse caso, qual deve ser o raio da curva?

Passo 1

O problema expõe a situação de um carro fazendo uma curva em uma pista inclinada e aplica as leis de Newotn ára obter duas equações:

F → cos ⁡ θ = m g             e               F →   s e n   θ = m v R 2 R

Da primeira equação, tiramos

F → = m g cos ⁡ θ

Substituindo ela na segunda, você vai encontrar:

m g cos ⁡ θ ⋅ s e n   θ = m v R 2 R

Simplificando as massas e lembrando que tan ⁡ θ = s e n   θ / cos ⁡ θ , obtemos

g tan ⁡ θ = v R 2 R

Assim,

v R 2 = R g tan ⁡ θ

Passo 2

Isolando v R :

v R = R g tan ⁡ θ

Usando R = 120   m , g = 9,8   m / s 2 e tan ⁡ 12 ° = 0,21 , obtemos

v R = 15,8   m / s

Passo 3

Se quisermos aumentar em 50 % a velocidade nominal, vamos ter

v R ' = 1,5   v R

Assim,

R ' g tan ⁡ θ = 1,5   R   g tan ⁡ θ

Portanto,

R ' = 1,5   R ⇒ R ' 2 = 2,25   R 2 = 2,25 ⋅ 120 2 = 32400

Logo,

R ' = 180   m

Resposta

v R = 15,8   m / s

R ' = 180   m

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