Enunciado

a) A curva com equação y 2 = 5 x 4 - x 2 é chamada kampyle de Eudoxo. Encontre a equação da reta tangente a essa curva no ponto ( 1,2 ) .

b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da reta tangente em tela comum.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... O enunciado pede a equação da reta tangente à uma curva dada por:

y 2 = 5 x 4 - x 2

No ponto ( 1,2 ) .

Para acharmos da equação de uma reta, precisamos de duas informações: um ponto em que ela passa (o enunciado já forneceu) e sua inclinação.

Assim, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:

y - y 0 = m   ( x - x 0 )

Onde m representa a inclinação (ou coeficiente angular da reta) e x 0 , y 0 , os pontos dados.

Para a reta tangente, m será a derivada de y com relação a x , isto é, y ' no ponto de tangência.

Assim, para encontrar m , devemos derivar implicitamente a equação fornecida.

Por fim, também queremos plotar o gráfico da curva e da reta tangente.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Derivando a equação implicitamente com relação a x :

2 y ⋅ y ' = 4 ⋅ 5 x 3 - 2 ⋅ x

Então,

2 y y ' = 20 x 3 - 2 x

Passo 3

Como o ponto de interesse é x 0 ,   y 0 = ( 1,2 ) , devemos substituir x = 1 e y = 2 na equação encontrada no passo 2:

2 ⋅ 2 ⋅ y ' = 20 ⋅ 1 3 - 2 ⋅ 1 ∴

4 y ' = 20 - 2 = 18 ∴

y ' = 18 4 ∴

y ' = 9 2

Assim, o coeficiente angular da reta tangente será m = 9 / 2 .

Passo 4

Agora basta substituir o ponto e a inclinação na equação da reta:

y - 2 = 9 2 ⋅ ( x - 1 )   ∴

2   y - 2 = 9   x - 1 ∴

2 y - 4 = 9 x - 9 ∴

9 x - 2 y - 5 = 0 ∴

y = 9 2 x - 5 2

Passo 5

O esboço pedido no item (b) é:

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

a) y = 9 2 x - 5 2

b) Esboço de gráfico.

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Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. y 2 y 2 - 4 = x 2 ( x 2 - 5 ) , ( 0 , - 2 ) (curva do diabo)
Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 + y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 - x 2 , 0 , 1 2 (cardioide)
Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 / 3 + y 2 / 3 = 4 , ( - 3 3 , 1 ) (astroide)
Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. 2x 2 + y 2 2 = 25( x 2 - y 2 ) , ( 3,1 ) (lemniscata)