Enunciado

Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado.

x 2 + y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 - x 2 , 0 , 1 2 (cardioide)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... O enunciado pede a equação da reta tangente à uma curva dada por:

x 2 + y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 - x 2

No ponto 0 , 1 2 .

Assim, para acharmos da equação de uma reta, precisamos de duas informações: um ponto em que ela passa (o enunciado já forneceu) e sua inclinação.

Assim, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:

y - y 0 = m   ( x - x 0 )

Onde m representa a inclinação (ou coeficiente angular da reta) e x 0 , y 0 , os pontos dados.

Para a reta tangente, m será a derivada de y com relação a x , isto é, y ' no ponto de tangência.

Assim, para encontrar m , devemos derivar implicitamente a equação fornecida.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Derivando a equação implicitamente com relação a x :

2 x + 2 y ⋅ y ' = 2   2 x 2 + 2 y 2 - x ⋅ 2 x 2 + 2 y 2 - x ' ∴

2 x + 2 y y ' = 2   2 x 2 + 2 y 2 - x   ( 2 ⋅ 2 x + 2 ⋅ 2 y ⋅ y ' - 1 )

Então,

2 x + 2 y y ' = 2   2 x 2 + 2 y 2 - x   ( 4 x + 4 y y ' - 1 )

Passo 3

Como o ponto de interesse é x 0 ,   y 0 = ( 0,1 / 2 ) , devemos substituir x = 0 e y = 1 / 2 na equação encontrada no passo 2:

2 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 2 y ' = 2   2 ⋅ 0 2 + 2 ⋅ 1 2 2 - 0   4 ⋅ 0 + 4 ⋅ 1 2 y ' - 1 ∴

y ' = 2 ⋅ 2 ⋅ 1 4   2 y ' - 1 = 2 y ' - 1 ∴

y ' = 1

Assim, o coeficiente angular da reta tangente será m = 1 .

Passo 4

Agora basta substituir o ponto e a inclinação na equação da reta:

y - 1 2 = 1 ⋅ ( x - 0 )   ∴

y = x + 1 2

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y = x + 1 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os pontos sobre a lemniscata do exercício 31 onde a tangente é horizontal.
( a ) A curva com equação y 2 = x 3 + 3 x 2 é denominada cúbica de Tschirnhausen. Encontre uma equação da reta tangente a essa curva no ponto ( 1 ,- 2 ) . ( b ) Em que pontos essa curva tem uma tangen
Duas curvas são ortogonais se suas retas tangentes forem perpendiculares em cada ponto de interseção. Mostre que as famílias dadas de curvas são trajetórias ortogonais uma em relação à outra, ou seja,
Duas curvas são ortogonais se suas retas tangentes forem perpendiculares em cada ponto de interseção. Mostre que as famílias dadas de curvas são trajetórias ortogonais uma em relação à outra, ou seja,
Onde a reta normal à elipse x 2 - x y + y 2 = 3 no ponto ( - 1 ,1 ) intercepta a elipse uma segunda vez?