Calcule a integral indefinida

∫ 5 t sin ⁡ 5 t d t

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Aqui temos uma integral um pouquinho diferente:

∫ 5 t s i n ⁡ ( 5 t )   d t

Nosso objetivo é encontrar uma função primitiva, ou seja, uma função cuja derivada resulte exatamente nessa expressão.

Como vamos resolver isso?

E olhando pra essa integral, dá pra ver que ela é uma composição de funções — o seno de uma potência — o que indica que talvez uma substituição resolva nosso problema.

Vamos usar o método da substituição, também conhecido como mudança de variável.A ideia é escolher uma nova variável que simplifique a integral — geralmente algo dentro de outra função.

  • Quando temos algo do tipo f ' ( x ) ⋅ g ( f ( x ) ) , podemos usar a substituição u = f ( x ) .
  • Assim, d u = f ' ( x )   d x e a integral vira ∫ g u   d u .

Bora começar!

Passo 2

Primeiro, olhamos pra função:

∫ 5 t sin ⁡ 5 t   d t

Percebe que dentro do seno temos 5 t e fora dele também aparece um 5 t multiplicando? Isso é um bom sinal pra tentar uma substituição.

Vamos fazer:

u = 5 t

Agora precisamos de d u .Sabemos que a derivada de 5 t é:

d u d t = 5 t ln ⁡ 5

ou seja,

d u = 5 t ln ⁡ 5   d t

Mas na integral temos só 5 t   d t , então isolamos isso:

5 t   d t = d u ln ⁡ 5

Substituímos tudo na integral original:

∫ 5 t sin ⁡ 5 t   d t = ∫ sin ⁡ u ⋅ d u ln ⁡ 5

Tiramos o 1 ln ⁡ 5   pra fora porque é constante:

1 l n ⁡ ( 5 ) ∫ sin ⁡ u   d u

Agora a integral ficou super simples!A primitiva de sin ⁡ u é - cos ⁡ u .

Então temos:

1 l n ⁡ ( 5 ) ∫ sin ⁡ u   d u = - cos ⁡ u ln ⁡ 5 + C

Por fim, voltamos pra variável original t :

u = 5 t

Logo, o resultado final é:

y = - cos ⁡ 5 t ln ⁡ 5 + C

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

y = - cos ⁡ 5 t ln ⁡ 5 + C

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