Responde Aí

Enunciado

Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado.

x 2 + y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 - x 2 , ( 0 , 1 / 2 ) (cardioide)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à uma curva dada por uma equação em um determinado ponto. Para acharmos da equação de uma reta, precisamos de duas informações: um ponto em que ela passa (o enunciado já forneceu) e sua inclinação. Assim, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:

y - y 0 = m   ( x - x 0 )

m representa a inclinação (ou coeficiente angular da reta). Para a reta tangente, m será a derivada de y com relação a x , isto é, y ' no ponto de tangência. Assim, para encontrar m , devemos derivar implicitamente a equação fornecida.

Passo 2

Derivando a equação implicitamente com relação a x :

2 x + 2 y ⋅ y ' = 2   2 x 2 + 2 y 2 - x ⋅ 2 x 2 + 2 y 2 - x '

2 x + 2 y y ' = 2   2 x 2 + 2 y 2 - x   ( 2 ⋅ 2 x + 2 ⋅ 2 y ⋅ y ' - 1 )

Então,

2 x + 2 y y ' = 2   2 x 2 + 2 y 2 - x   ( 4 x + 4 y y ' - 1 )

Passo 3

Como o ponto de interesse é x 0 ,   y 0 = ( 0 , 1 / 2 ) , devemos substituir x = 0 e y = 1 / 2 na equação encontrada no passo 2:

2 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 2 y ' = 2   2 ⋅ 0 2 + 2 ⋅ 1 2 2 - 0   4 ⋅ 0 + 4 ⋅ 1 2 y ' - 1

y ' = 2 ⋅ 2 ⋅ 1 4   2 y ' - 1 = 2 y ' - 1

y ' = 1

Assim, o coeficiente angular da reta tangente será m = 1 .

Passo 4

Agora basta substituir o ponto e a inclinação na equação da reta:

y - 1 2 = 1 ⋅ ( x - 0 )

y = x + 1 2

Resposta

R: y = x + 1 2 .

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