Enunciado

O número N de franquias de uma certa cadeia popular de cafeterias é mostrada na tabela. (Dados os números de franquias no dia 30 de junho de cada ano.)

  1. Encontre a taxa média do crescimento:
  2. ( i ) de 2000 a   2002   ( i i ) de 2000 a 2001   ( i i i ) de 1999 a 2000

    Em cada caso, inclua as unidades.

  3. Estime a taxa de crescimento instantânea em 2000 tomando a média de duas taxas médias da variação. Quais são suas unidades?
  4. Estime a taxa instantânea de crescimento em 2000 medindo a inclinação de uma tangente.

Passo 1

E aí, preparado para mais uma questão sobre taxas de variação? Bora meter ficha!

Para estimarmos as taxas médias pedidas na questão, vamos ter que usar a seguinte equação (onde N é o número de franquias da cafeteria, A o tempo em anos e m a taxa de variação):

m = ∆ N ∆ A = N 2 - N 1 A 2 - A 1

Nós pegamos a equação da inclinação de uma reta e adptamos às nossas variáveis, porque a inclinação de uma reta nada mais é do que uma taxa de variação, tranquilo? Esse conceito é importante que só e ta sempre aparecendo em cálculo, então fica atento!

Passo 2

  1. Para o caso ( i ) , extraindo os valores da tabela – os pontos ( 2000 ,   3501 ) e ( 2002 ,   5886 ) – e jogando na equação:
  2. m = 5886 - 3501 2002 - 2000 = 2385 2 = 1192,5   f r a n q u i a s / a n o

    Para o caso ( i i ) , de forma semelhante, utilizando os pontos ( 2000 ,   3501 ) e ( 2001 ,   4709 ) :

    m = 4709 - 3501 2001 - 2000 = 1208 1 = 1208   f r a n q u i a s / a n o

    Por fim, para o caso ( i i i ) , utilizando os pontos ( 1999 ,   39 ) e ( 2000 ,   3501 ) :

    m = 3501 - 2135 2000 - 1999 = 1366 1 = 1366   f r a n q u i a s / a n o

    Como N é dado em franquias e A em anos, a unidade de toda e qualquer taxa de variação que encontrarmos aqui nesse exercício vai ser f r a n q u i a s / a n o , belê? Bora continuar!

    Passo 3

  3. Para estimarmos a taxa instantânea de variação no ano 2000 , iremos pegar a taxa média entre 1999 e 2000 e a taxa média entre 2000 e 2001 .
  4. Pegamo esse valores porque uma taxa foi calculada pegando um ponto imediatamente antes de 2000 e a outra um ponto imediatamente depois. Sempre pegamos os pontos mais próximos do nosso ponto!

    Para fazermos a estimativa, basta tirarmos a média das duas taxas que escolhemos! Vai ficar assim olha:

    m = 1208 + 1366 2 = 2574 2 = 1287   f r a n q u i a s / a n o

    Passo 4

  5. Nessa aqui, a gente precisa de uma reta que seja tangente ao ponto ( 2000 ,   3501 ) . Dá uma olhada em como ficaria o gráfico dos pontos que a gente tem (vermelho) junto com uma reta tangente no ponto que a gente ta estudando (azul):

Se a gente pegar essa reta do gráfico, teremos nela o ponto ponto ( 2000 ,   3501 ) e outro ponto que seria ( 2001 ,   4801 ) . Jogando isso na nossa fórmula, teremos:

m = 3501 - 4801 2000 - 2001 = 1300 1 = 1300   f r a n q u i a s / a n o

Como o gráfico foi feito no computador, temos mais certeza do valor, mas caso o gráfico fosse feito à mão, teríamos um valor com um certo erro. O importante é lembrar que aqui temos uma estimativa e, se o seu valor não der exatamente esse, não tem problema ;)

Resposta

  1. i   m = 1192,5   f r a n q u i a s / a n o i i   m = 1208   f r a n q u i a s / a n o
  2. i i i   m = 1366   f r a n q u i a s / a n o

  3. m = 1287   f r a n q u i a s / a n o
  4. m = 1300   f r a n q u i a s / a n o
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