Enunciado

Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado.

y 2 y 2 - 4 = x 2 ( x 2 - 5 ) , ( 0 , - 2 ) (curva do diabo)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... O enunciado pede a equação da reta tangente à uma curva dada por:

2   x 2 + y 2 2 = 25   ( x 2 - y 2 )

No ponto ( 3,1 ) .

Curiosidade: essa aí é conhecida como “curva do diabo”.

Calma hahahaha.. vamos focar na questão haha

Assim, para acharmos da equação de uma reta, precisamos de duas informações: um ponto em que ela passa (o enunciado já forneceu) e sua inclinação.

Assim, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:

y - y 0 = m   ( x - x 0 )

Onde m representa a inclinação (ou coeficiente angular da reta) e x 0 , y 0 , os pontos dados.

Para a reta tangente, m será a derivada de y com relação a x , isto é, y ' no ponto de tangência.

Assim, para encontrar m , devemos derivar implicitamente a equação fornecida.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Antes de derivarmos, vamos reescrever a relação como:

y 4 - 4 y 2 = x 4 - 5 x 2

Derivando a equação implicitamente com relação a x :

4 y 3 ⋅ y ' - 2 ⋅ 4 y ⋅ y ' = 4 x 3 - 2 ⋅ 5 x

Então,

4 y 3 y ' - 8 y y ' = 4 x 3 - 10 x

Passo 3

Como o ponto de interesse é x 0 ,   y 0 = ( 0 , - 2 ) , devemos substituir x = 0 e y = - 2 na equação encontrada no passo 2:

4 ⋅ - 2 3 ⋅ y ' - 8 ⋅ - 2 ⋅ y ' = 0 ∴

- 32 y ' + 16 y ' = 0 ∴

y ' = 0

Assim, o coeficiente angular da reta tangente será m = 0 .

Passo 4

Agora basta substituir o ponto e a inclinação na equação da reta:

y - ( - 2 ) = 0 ⋅ ( x - 0 )   ∴

y + 2 = 0 ∴

y = - 2

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y = - 2

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Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 + 2 x y - y 2 + x = 2 , ( 1,2 ) (hipérbole)
Mostre, fazendo a derivação implícita, que a tangente à elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 No ponto ( x 0 ,   y 0 ) é x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1
Mostre que a soma das coordenadas das intersecções com os eixos x e y de qualquer reta tangente à curva x + y = c é igual a c .
Encontre uma equação da reta tangente à hipérbole x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 No ponto ( x 0 ,y 0 ) .
Mostre, usando a derivação implícita, que qualquer reta tangente, em um ponto P , a um círculo com centro O é perpendicular ao raio O P .