Enunciado

Para que uma curva seja simétrica em relação ao eixo x , o ponto ( x , y ) deverá estar na curva se, e somente se, o ponto ( x , - y ) estiver na curva. Explique por que uma curva simétrica em relação ao eixo x não é o gráfico de uma função, a não ser que a função seja y = 0

Passo 1

Para podermos explicar o porquê disto ocorrer, precisamos relembrar a definição de uma função.

Uma função f de um conjunto D para um conjunto Y é uma função regra que associa um único elemento f ( x ) ∈ Y a cada elemento x ∈ D . O conjunto D é dito domínio da função e o conjunto Y o seu contradomínio. Desta forma, para cada valor de x , existe um único valor de Y correspondente. Utilizando um diagrama de flecha, isto está representado da seguinte forma:

Sendo o conjunto A o domínio e o conjunto B o contradomínio. Uma função nunca será representada pelo diagrama a seguir, em que o x = 2 está associado a dois valores de f ( x ) ( 8   e - 8 ).

Passo 2

Após discutirmos a definição de uma função no Passo 1, fica claro o motivo de uma curva simétrica em torno de x não possuir uma função. Veja um exemplo deste tipo de curva, uma circunferência.

Para um valor de x , temos dois valores de f ( x ) distintos, o que desrespeita a definição de uma função.

Passo 3

A única exceção desta regra é o caso em que y = 0 , pois os valores simétricos correspondem aos mesmos pontos, isto é, os pontos P = ( x , + 0 ) e P ' = ( x , - 0 ) são iguais, o que não desrespeita a definição das funções.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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