Enunciado

As curvas nos Exercícios 45 e 46 são denominadas curvas de Bowditch ou figuras de Lissajous. Em cada um dos casos, encontre o ponto no interior do primeiro quadrante em que a tangente à curva é horizontal, e encontre as equações das duas tangentes na origem.

Passo 1

Oi galerinha, vem comigo!

Quando t varia, o ponto x ,   y = f t ,   g t varia e traça a curva C , que é chamada de curva parametrizada. Essa curva parametrizada é derivável em t se f e g forem deriváveis em t . Então as derivadas d y / d t , d x / d t e d y / d x estão relacionadas pela Regra da Cadeia:

d y d t = d y d x ∙ d x d t

Se as três derivadas existem e d x / d t ≠ 0 , a tangente da curva em t é dada pela seguinte equação:

d y d x = d y d t d x d t

Do enunciado temos os seguintes dados:

x = sen ⁡ 2 t y = sen ⁡ 3 t

Então, primeiramente iremos calcular as derivadas de x e y :

d x d t = 2 cos ⁡ 2 t

d y d t = 3 cos ⁡ 3 t

Sendo assim o coeficiente angular da reta é:

d y d x = 3 cos ⁡ 3 t 2 cos ⁡ 2 t

Passo 2

Queremos encontrar o ponto no interior do primeiro quadrante em que a tangente à curva é horizontal. Então, vamos definir o intervalo do primeiro quadrante que é:

0 ≤ t ≤ π / 2

Como queremos a reta horizontal, então d y d x = 0 , assumindo valores de t no intervalo restrito, encontramos:

Podemos observar que o ponto que estamos procurando é quando t = π / 6 , logo:

x = sen ⁡ 2 ∙ π 6 = 3 2

y = sen ⁡ 3 ∙ π 6 = 1

O ponto no interior do primeiro quadrante onde a tangente é uma curva horizontal é 3 2 ,   1 .

Passo 3

Por fim, precisamos calcular as equações das duas tangentes na origem. Como já sabemos, a tangente é uma reta, logo, a equação da reta é:

y = m x + n

Onde:

  • m coeficiente angular;
  • n coeficiente linear.
  • Como o ponto é na origem, sabemos que n = 0 . E na origem sabemos também que t = 0 e t = π , com esses dados conseguimos encontrar o valor de m :

  • Para t = 0 :
  • m = d y d x = 3 cos ⁡ 3 ∙ 0 2 cos ⁡ 2 ∙ 0

    m = 3 2

    Então a equação é:

    y = 3 x 2

  • E para t = π :
  • m = d y d x = 3 cos ⁡ 3 ∙ π 2 cos ⁡ 2 ∙ π

    m = - 3 2

    Então a equação é:

    y = - 3 x 2

    Prontinho pessoal, esse já acabou, até mais!!

    Resposta

  • 3 2 ,   1 .
  • t = 0 y = 3 x 2
  • t = π y = - 3 x 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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