Enunciado

A curva com equações paramétricas:

é denominada senoide e é exibida na figura a seguir. Encontre o ponto ( x , y ) em que o coeficiente angular da reta tangente é:

a. o maior

b. o menor

Passo 1

Oi galerinha, vem comigo!

Quando t varia, o ponto x ,   y = f t ,   g t varia e traça a curva C , que é chamada de curva parametrizada. Essa curva parametrizada é derivável em t se f e g forem deriváveis em t . Então as derivadas d y / d t , d x / d t e d y / d x estão relacionadas pela Regra da Cadeia:

d y d t = d y d x ∙ d x d t

Se as três derivadas existem e d x / d t ≠ 0 , o coeficiente angular da curva em t é:

d y d x = d y d t d x d t

Do enunciado temos os seguintes dados:

Então, primeiramente iremos calcular as derivadas de x e y :

d x d t = 1

d y d t = sen ⁡ t

Sendo assim o coeficiente angular da reta é:

d y d x = sen ⁡ t 1 = sen ⁡ t

Passo 2

Para encontrarmos e classificarmos os extremos globais da função:

f t = sen ⁡ t

E sabemos que o intervalo é restrito em:

0 ≤ t ≤ 2 π

Para encontrar os valores críticos iremos derivá-la e igualar a zero, obtendo:

f ' t = cos ⁡ t

cos ⁡ t = 0 → t = cos - 1 ⁡ 0

Resolvendo, descobrimos pontos críticos de t :

t = π 2 t = 3 π 2

Substituindo esses valores na equação que descobrimos dos coeficientes angulares:

d y d x = sen ⁡ π 2 = 1

d y d x = sen ⁡ 3 π 2 = - 1

Então sabemos que t = 3 π / 2 é o ponto menor e t = π / 2 é o ponto maior.

Passo 3

Por fim, precisamos encontrar os valores de x e y , para esses valores:

  1. Maior coeficiente angular t = π / 2
  2. x = π 2

    y = 1 - cos ⁡ π 2 = 1

    O ponto é π / 2 ,   1 .

  3. Menor coeficiente angular t = 3 π / 2

x = 3 π 2

y = 1 - cos ⁡ 3 π 2 = 1

O ponto é 3 π / 2 ,   1 .

Resposta

  1. π 2 ,   1 .
  2. 3 π 2 ,   1 .

x - = 2,355 .

y - = 2,486 .

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