Dada a funcao f(x, y) = x / y + x^2 + y^2 com x(t) = rcost e y(t) = rsent, encontrar d(f)/d(r) e d(f)/d(t)

Passo 1

Nossa expressão do enunciado é da forma :

z r , t =   f x r , t , y r , t

Analisando a expressão acima, vemos que se trata do 2º caso da regra da cadeia, portanto

O primeiro termo que o enunciado nos pede é obtido se derivarmos em relação a r

∂ z ∂ r =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ r

Para calcularmos o outro termos, precisamos derivar em relação a t

∂ z ∂ t =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ t

Passo 2

Agora, vamos calcular cada derivada parcial :

∂ f ∂ x = 1 y + 2 x

∂ f ∂ y = 2 y - x y 2

∂ x ∂ r = c o s t

∂ x ∂ t = - r s e n t

∂ y ∂ r = s e n t

∂ y ∂ t =   r c o s t

Passo 3

Substituindo nas nossas expressões

∂ z ∂ r =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ r

∂ z ∂ r = 1 y + 2 x ( c o s t ) + 2 y - x y 2 ( s e n t )

∂ z ∂ t =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ t

∂ z ∂ t =   1 y + 2 x ( - r s e n t ) + 2 y - x y 2 (   r c o s t )

Deixando tudo em função dos parâmetros r e t

∂ z ∂ r = 1 r s e n t + 2 r c o s t c o s t + 2 r s e n t - r c o s t r s e n t 2 s e n t

∂ z ∂ r = c o s t   r s e n t + 2 r c o s t 2 + 2 r s e n t 2 - c o s t r s e n t

∂ z ∂ r = 2 r ( c o s t 2 + s e n t 2 ) = 2 r

∂ z ∂ t =   1 r s e n t + 2 r c o s t - r s e n t + 2 r s e n t - r c o s t r s e n t 2   r c o s t =   - csc 2 ⁡ t

Resposta

∂ z ∂ r = 2 r

∂ z ∂ t = - csc 2 ⁡ t

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