Enunciado

Dada a função vec f (x , y) = (x y z , x y , sqrt(x^2 + z^2)) , determinar (del^2 vec f)/(del x^2) , (del^2 vec f)/(del y^2) e (del^2 vec f)/(del x del y) .

Passo 1

Então pessoal, essa questão aqui é puramente matemática mesmo, devemos encontrar as derivadas parciais de ordem superior, conforme indicadas pelo enunciado. Primeiramente devemos encontrar (del^2 vec f)/(del x^2) , que seria derivar duas vezes seguidas a função vetorial em relação a x , ok? A função que nos foi dada é:

vec f (x , y) = (x y z , x y , sqrt(x^2 + z^2))

Derivando pela primeira vez:

(del vec f)/(del x) = (y z , y , x (x^2 + z^2)^(- (1)/(2)))

Derivando pela segunda vez:

(del^2 vec f)/(del x^2) = (0 , 0 , (x^2 + z^2)^(- (1)/(2)) + x . (- x) . (x^2 + z^2)^(- (3)/(2)))

:. (del^2 vec f)/(del x^2) = (0 , 0 , (x^2 + z^2)^(- (1)/(2)) - x^2 . (x^2 + z^2)^(- (3)/(2)))

Primeiro pedido finalizado!

Passo 2

Agora o que devemos fazer é encontrar (del^2 vec f)/(del y^2) , que seria derivar duas vezes seguidas a função vetorial em relação a y , ok? Derivando pela primeira vez:

(del vec f)/(del y) = (x z , x , 0)

Derivando pela segunda vez:

(del^2 vec f)/(del y^2) = (0 , 0 , 0)

Segundo pedido finalizado também!

Passo 3

Por fim, o que devemos encontrar é (del^2 vec f)/(del x del y) , que seria derivar a função em relação a y primeiro e, em seguida, derivar essa função nova em relação a x , se liga:

(del vec f)/(del y) = (x z , x , 0)

Agora derivando em relação a x :

(del^2 vec f)/(del x del y) = (z , 1 , 0)

E todas as derivadas que queríamos estão aí!

Resposta

(del^2 vec f)/(del x^2) = (0 , 0 , (x^2 + z^2)^(- (1)/(2)) - x^2 . (x^2 + z^2)^(- (3)/(2)))

(del^2 vec f)/(del y^2) = (0 , 0 , 0)

(del^2 vec f)/(del x del y) = (z , 1 , 0)

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Se z = f ( x , y ) tem derivadas parciais de 2 ª ª ordem contínuas e satisfaz a equação ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harmônicas.b) z
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Encontrar:(del^2 vec f)/(del x ²) , (del^2 vec f)/(del y ²) , (del^2 vec f)/(del x del y) , (del^3 vec f)/(del x ² del y) e (del^3 vec f)/(del z ³) ² ² ² ³Das seguintes funções:c) vec f (x , y , z) =