Enunciado

Dada a função f x = x - 1 ,         x ≥ 0                 x ,         x < 0 , verificar se existe f ' 0 . Esboçar o gráfico.

Passo 1

Vamos ver se f x é contínua, para saber se f ' 0 existe

Vamos ver o que é necessário para uma função ser contínua no ponto a :

  1. f é definida no ponto a ;
  2. lim x → a ⁡ f x existe;
  3. lim x → a ⁡ f x = f a .

Vamos então ver se as três condições são aceitas.

Passo 2

Primeiro vamos ver se f é definida no ponto x = 0 :

A função nos diz que:

f 0 = 0 - 1 = - 1

Então ela é definida nesse ponto.

Passo 3

Vamos agora ver se o lim x → 0 ⁡ f x existe, para isso valor calcular esse limite pela direita e pela esquerda, se eles forem iguais, o limite existe e possui esse valor:

lim x → 0 ⁺ ⁡ f x = lim x → 0 ⁺ ⁡ x - 1 = 0 - 1 = - 1

lim x → 0 ⁻ ⁡ f x = lim x → 0 ⁻ ⁡ x = 0

Eita, lim x → 0 ⁡ f x não existe, não passa pela segunda condição, assim não existe f ' 0 .

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico:

Resposta

Não existe f ' 0

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