Dada a função f(x) = 1 / (2x - 6) , verificar se existe f'(3) . Esboçar o gráfico.

Passo 1

Oii!! Tranquilinho??

O enunciado nos deu a seguinte função:

f x = 1 2 x - 6

Primeiramente queremos saber se a derivada de f no ponto x = 3 existe.

Para isso, basta investigarmos o que acontece com f x quando fazemos x = 3 ou a gente pode simplesmente derivar e fazer x = 3 para ver se existe a derivada f ' 3 .

Em seguida, queremos esboçar o gráfico. Para isso, teremos que estudar a nossa função com relação a assíntotas e intervalos de crescimento e decrescimento!

Bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos ver se f x é contínua, para saber se f ' 0 existe

Vamos ver o que é necessário para uma função ser contínua no ponto a :

  1. f é definida no ponto a ;
  2. lim x → a ⁡ f x existe;
  3. lim x → a ⁡ f x = f a .

Vamos então ver se as três condições são aceitas.

Passo 3

Primeiro vamos ver se f é definida no ponto x = 3 :

A função nos diz que:

f 3 = 1 2 ⋅ 3 - 6 = 1 6 - 6

Eita, ela não é definida nesse ponto. Se a função não está definida no ponto, a derivada também não existe em f ' 3 .

Podemos verificar isso também fazendo a derivada, utilizando a regra da cadeia:

f ' x = d d x 2 x - 6 - 1

f ' x = - 1 2 x - 6 - 1 - 1 ⋅ 2

f ' x = - 2 2 x - 6 2

Fazendo f ' 3 :

f ' 3 = - 2 2 ⋅ 3 - 6 2

f ' 3 = - 2 0

Assim, por conta dessa indeterminação, concluímos que não existe f ' 3 !! 😉

Passo 4

Note que, se fizermos os limites laterais em x = 3 , obteremos:

lim x → 3 + ⁡ 1 2 x - 6 = + ∞

E

lim x → 3 - ⁡ 1 2 x - 6 = - ∞

Com isso, podemos afirmar que existe uma assíntota vertical em x = 3 !

E, ainda, também podemos afirmar que:

1) Para x > 3 , temos que 2 x - 6 > 0 , o que indica que a função é maior que zero f x > 0 ;

2) Para x < 3 , temos que 2 x - 6 < 0 , o que indica que a função é menor que zero f x < 0 ;

Com isso, podemos verificar que a nossa função terá uma característica hiperbólica em torno de x = 3 .

Vamos esboçar o gráfico:

Resposta

Não existe f ' 3

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