Dada a função , verificar se existe . Esboçar o gráfico.
Passo 1
Oii!! Tranquilinho??
O enunciado nos deu a seguinte função:
Primeiramente queremos saber se a derivada de no ponto existe.
Para isso, basta investigarmos o que acontece com quando fazemos ou a gente pode simplesmente derivar e fazer para ver se existe a derivada .
Em seguida, queremos esboçar o gráfico. Para isso, teremos que estudar a nossa função com relação a assíntotas e intervalos de crescimento e decrescimento!
Bora lá!! 😉
Passo 2
Vamos ver se é contínua, para saber se existe
Vamos ver o que é necessário para uma função ser contínua no ponto :
- é definida no ponto ;
- existe;
- .
Vamos então ver se as três condições são aceitas.
Passo 3
Primeiro vamos ver se é definida no ponto :
A função nos diz que:
Eita, ela não é definida nesse ponto. Se a função não está definida no ponto, a derivada também não existe em .
Podemos verificar isso também fazendo a derivada, utilizando a regra da cadeia:
Fazendo :
Assim, por conta dessa indeterminação, concluímos que não existe !! 😉
Passo 4
Note que, se fizermos os limites laterais em , obteremos:
E
Com isso, podemos afirmar que existe uma assíntota vertical em !
E, ainda, também podemos afirmar que:
1) Para , temos que , o que indica que a função é maior que zero ;
2) Para , temos que , o que indica que a função é menor que zero ;
Com isso, podemos verificar que a nossa função terá uma característica hiperbólica em torno de .
Vamos esboçar o gráfico:
Resposta
Não existe