Enunciado

25. Dada x^2 + y^2 = 1 , mostre que

(d^2 y)/(d x^2) = - (1)/(y^3)

Passo 1

Para acharmos o resultado dessa derivada de ordem 2 precisamos ter em mente duas coisas:

1 - Teremos que fazer 2 derivadas. Uma da função dada e uma da que conseguiremos através dela, pois a ordem da derivada nos dá essa informação.

2 – Teremos que isolar o y na equação dada para obter uma dependência em x e assim realizar as derivadas. Assim teremos:

y = (1 - x^2)^((1)/(2))

Passo 2

1ª Derivada: Usaremos a função que nos foi dada inicialmente.

(d y)/(d x) = (d)/(d x) [(1 - x^2)^((1)/(2))]

= (1)/(2) (1 - x^2)^((- 1)/(2)) * (- 2 x)

= - x (1 - x^2)^(- (1)/(2))

Passo 3

2ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 2 dentro do nosso colchete.

(d)/(d x) [- x (1 - x^2)^(- (1)/(2))] = (d)/(d x) (- x) * (1 - x^2)^(- (1)/(2)) + (- x) * (d)/(d x) [(1 - x^2)^(- (1)/(2))]

= - (1 - x^2)^(- (1)/(2)) - x [- (1)/(2) (1 - x^2)^((- 3)/(2)) * (- 2 x)]

= - (1 - x^2)^(- (1)/(2)) - x^2 (1 - x^2)^((- 3)/(2))

Passo 4

Para simplificar essa expressão ao máximo, teremos:

= - (1)/((1 - x^2)^((1)/(2))) - (x^2)/((1 - x^2)^((3)/(2)))

Multiplicando o primeiro termo no numerador e no denominador por (1 - x^2) :

= - (1 * (1 - x^2))/((1 - x^2)^((1)/(2)) * (1 - x^2)) - (x^2)/((1 - x^2)^((3)/(2)))

= - (1 - x^2)/((1 - x^2)^((3)/(2))) - (x^2)/((1 - x^2)^((3)/(2)))

= - (1)/((1 - x^2)^((3)/(2)))

Passo 5

Como definimos anteriormente:

y = (1 - x^2)^((1)/(2))

Assim, ficamos com:

= - (1)/(y^3)

Passo 6

Prontinho, fizemos as duas derivações necessárias. Agora para o resultado final é só igualar a derivada de ordem 2 dada no enunciado ao resultado da última derivada que fizemos.

(d^2 y)/(d x^2) = - (1)/(y^3)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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