25. Dada x^2 + y^2 = 1 , mostre que

d^2y/dx^2 = -1/y^3

Passo 1

Para acharmos o resultado dessa derivada de ordem 2 precisamos ter em mente duas coisas:

1 - Teremos que fazer 2 derivadas. Uma da função dada e uma da que conseguiremos através dela, pois a ordem da derivada nos dá essa informação.

2 – Teremos que isolar o y na equação dada para obter uma dependência em x e assim realizar as derivadas. Assim teremos:

y = 1 - x 2 1 2

Passo 2

1ª Derivada: Usaremos a função que nos foi dada inicialmente.

d y d x = d d x 1 - x 2 1 2

= 1 2 1 - x 2 - 1 2 ⋅ - 2 x

= - x 1 - x 2 - 1 2

Passo 3

2ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 2 dentro do nosso colchete.

d d x - x 1 - x 2 - 1 2 = d d x - x ⋅ 1 - x 2 - 1 2 + - x ⋅ d d x 1 - x 2 - 1 2

= - 1 - x 2 - 1 2 - x - 1 2 1 - x 2 - 3 2 ⋅ - 2 x

= - 1 - x 2 - 1 2 - x 2 1 - x 2 - 3 2

Passo 4

Para simplificar essa expressão ao máximo, teremos:

= - 1 1 - x 2 1 2 - x 2 1 - x 2 3 2

Multiplicando o primeiro termo no numerador e no denominador por 1 - x 2 :

= - 1 ⋅ 1 - x 2 1 - x 2 1 2 ⋅ 1 - x 2 - x 2 1 - x 2 3 2

= - 1 - x 2 1 - x 2 3 2 - x 2 1 - x 2 3 2

= - 1 1 - x 2 3 2

Passo 5

Como definimos anteriormente:

y = 1 - x 2 1 2

Assim, ficamos com:

= - 1 y 3

Passo 6

Prontinho, fizemos as duas derivações necessárias. Agora para o resultado final é só igualar a derivada de ordem 2 dada no enunciado ao resultado da última derivada que fizemos.

d 2 y d x 2 = - 1 y 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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