Enunciado

Derive f e encontre o domínio de f

f x = ln ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x

Passo 1

Fala pessoal,

Nessa questão temos a seguinte função f

f x = ln ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x

Aí temos que deriva-la. Podemos ver que essa função é composta por três funções, uma dentro da outra que são:

f x = ln ⁡ x

g x = ln ⁡ x

h x = ln ⁡ x

Dessa forma, usaremos a regra da cadeia que diz que:

f g h x ' = f ' g h ( x ) g ' h ( x ) h ' x

Ou seja, vamos derivando de fora para dentro.

Por fim, devemos encontrar o domínio da função f .

Como f se trata de um logaritmo, sabemos que o argumento do logaritmo deve ser positivo e maior do que zero, vamos usar isso para definir o nosso domínio de f .

Passo 2

Primeiramente, calcularemos a derivada de f , para tal, usaremos a regra da cadeia

f ' x = 1 ln ⁡ ln ⁡ x ⋅ 1 ln ⁡ x ⋅ 1 x

f ' x = 1 x ⋅ ln ⁡ x ⋅ ln ⁡ ln ⁡ x

Passo 3

Agora, precisamos calcular o domínio da nossa f , para isso, necetissamos atender uma condição que é o argumento do logaritmo ser maior do que zero.

ln ⁡ ln ⁡ x > 0

Elevando os dois lados por e , temos:

e ln ⁡ ln ⁡ x > e 0

Usando a propriedade de logaritmo na esquerda obtemos:

ln ⁡ x > e 0

ln ⁡ x > 1

E novamente elevados os dois lados por e , temos:

e ln ⁡ x > e 1

x > e

Então podemos escrever o D o m ( f ) como

D o m f = ( e , ∞ )

Resposta

f x = 1 x ⋅ ln ⁡ x ⋅ ln ( ⁡ ln ⁡ x )

D o m f = ( e , ∞ )

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