Enunciado

Dada a reta l com equação 2 y - 3 x = 4 e o ponto P ( 1 ,   - 3 ) , (a) ache uma equação da reta passando por P , perpendicular a l e (b) a menor distância de P à reta l

Passo 1

Vamos escrever a equação de l da forma reduzida:

2 y - 3 x = 4 ⇒ 2 y = 3 x + 4

y = 3 x 2 + 2

Passo 2

Observe que a inclinação de l é 3 2 . Queremos escrever uma reta que seja perpendicular a l , para isso devemos achar a inclinação m da nossa reta de forma que m . 3 2 = - 1 .

Assim,

m . 3 2 = - 1 → m = - 2 3

Passo 3

Substituindo, na equação y - y 0 = m ( x - x 0 ) , o ponto dado e a inclinação encontrada anteriormente, temos

y - - 3 = - 2 3 x - 1

y + 3 = - 2 x 3 + 2 3

y = - 2 x 3 + 2 3 - 3

y = - 2 x 3 - 7 3

E essa é a nossa reta perpendicular.

Passo 4

Agora, temos que achar a menor distância do ponto P ( 1 , - 3 ) à reta l . Bem, a distância entre dois pontos a gente conhece, é assim:

d = x 1 - x 2 2 + y 1 - y 2 2

Mas como assim a gente tem que achar a menor distância entre um ponto e uma reta???? Bem, uma reta é a união de infinitos pontos, então significa que tem infinitas (!) distâncias de um ponto até uma reta! É algo mais ou menos como essa figura aqui

E aí tem uma dessas distâncias que é a menor de todas. Pela nossa figura, é a reta pontilhada em vermelho. Essa reta, tem uma coisa especial: ela é perpendicular à nossa primeira reta! E mais importante: nós já achamos a equação dessa reta no passo anterior!

Isso tudo significa que a menor distância entre o ponto e a reta preta é a distância entre o ponto e a interseção entre a reta preta e a reta vermelha pontilhada 😉

Passo 5

Vamos então achar essa interseção!

A interseção dessas duas retas se dá quando igualamos as equações das duas. A reta vermelha é dada por

y = - 2 x 3 - 7 3

E a reta preta é dada por

y = 3 x 2 + 2

Igualando as duas ficamos com

3 x 2 + 2 = - 2 x 3 - 7 3

3 x 2 + 2 x 3 = - 7 3 - 2

Fazendo o MMC

9 x + 4 x 6 = - 7 - 6 3 → 13 x 6 = - 13 3

x = - 2

Pra achar a coordenada y desse ponto basta substituir esse valor de x em qualquer uma das duas equações. Jogando na primeira...

y = 3 x 2 + 2 = 3 2 - 2 + 2 = - 3 + 2 = - 1

Então a interseção entre as duas retas é o ponto

- 2 , - 1

Passo 6

Agora vamos achar a distância entre esses dois pontos ( 1 , - 3 ) e - 2 , - 1  

d = x 1 - x 2 2 + y 1 - y 2 2 = 1 - - 2 2 + - 3 - - 1 2

d = 3 2 + - 2 2

d = 9 + 4

d = 13

Jogando na calculadora

d = 3,61

Beleza?

Resposta

A reta perpendicular a l passando pelo ponto P ( 1 ,   - 3 ) é y = - 2 x 3 - 7 3 .

E a menor distância entre P e a reta é 3,61.

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Obtenha uma equação vetorial da reta t que contém P e é concorrente com r e s . P = - 1 ,- 4 ,- 6r :x - y - z + 5 = 0 2 x - z + 4 = 0s : x - 3 2 = y - 2 3 = z 3
Obtenha uma equação vetorial da reta t que contém P e é concorrente com r e s . P = 1 ,1 ,1r : x + 3 = y - 2 2 = z - 1 3s : X = - 2 ,0 ,4 + λ( 1 ,1 ,- 1 )
Obtenha uma equação vetorial da reta t que contém P e é concorrente com r e s . P = - 2 ,2 ,- 4r : X = - 1 ,1 ,3 + λ( - 2 ,- 2 ,2 )s : X = - 2 ,4 ,4 + λ( 1 ,2 ,3 )
Obtenha uma equação vetorial da reta t que contém P e é concorrente com r e s . P = 1 ,- 2 ,- 1r : z = x - 2 y = 1 - x s : z = x - 1 y = 1 + 2 x
Obtenha uma equação vetorial da reta t que contém P e é concorrente com r e s . P = 1 ,0 ,3r : X = 1 ,0 ,0 + λ( 3 ,- 1 ,2 )s : X = - 5 ,2 ,- 4 + λ( 1 ,5 ,- 1 )