Enunciado

Dada f (x) = sin 2 x * cos 3 x , mostrar que f ( x ) é ímpar e f ' ( x ) é par.

Passo 1

Para verificarmos a paridade dessas funções, tomamos as seguintes proposições:

  • Funções pares multiplicadas por funções pares resultam em funções pares.
  • Funções ímpares multiplicadas por funções ímpares resultam em funções pares.
  • Funções ímpares multiplicadas por funções pares resultam em funções ímpares.

Passo 2

A função seno é uma função ímpar, pois vale que f (x) = - f ( - x ) , pra qualquer lei de função que envolva seno. Seus gráficos são sempre antissimétricos em relação ao eixo das abscissas.

Já a função cosseno é uma função par, pois vale que f (x) = f ( - x ) , pra qualquer lei de função que envolva cosseno. Seus gráficos são sempre simétricos em relação ao eixo das abscissas.

Fica então verificado que f (x) = sin 2 x * cos 3 x é ímpar, pois é uma composição de funções seno e cosseno por multiplicação. Função ímpar multiplicada por função par, resulta em função ímpar!

Passo 3

Agora avaliamos f ' ( x ) , que vale:

f^' (x) = (d ( sin 2 x ))/(d x) * cos 3 x + (d (cos 3 x))/(d x) * sin 2 x

f^' (x) = 2 * cos 2 x * cos 3 x + 3 * ( - sin 3 x ) * sin 2 x

f^' (x) = 2 * cos 2 x * cos 3 x - 3 * sin 3 x * sin 2 x

A multiplicação entre funções pares, como as funções cosseno, resultam sempre em funções pares.

Da mesma forma, a multiplicação entre funções ímpares, como as funções seno, também resultam em funções pares.

A composição por adição ou subtração entre as funções pares resultantes também vai gerar uma função par no final. Fica então verificado que f ' ( x ) é função par!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

27- a) Mostre que y = x s e nx é uma solução de y ' ' +y = 2c o sx . b) Mostre que y=xs e nx é uma solução da equação y 4+y ' ' =- 2c o sx .
25- Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de s e nx nos pontos:a)x = 0 b)x = π c)x = π 4
Muitas calculadoras computam recíprocos usando a aproximação 1 a ≈ x n + 1 , onde x n + 1 = x n 2 - a x n ,n = 1 ,2 ,3 ,… e x 1 é uma aproximação inicial de 1 a . Essa fórmula torna possível efetuar d
Sem usar identidades trigonométricas, encontre lim x → 0 ⁡ tg ⁡ x + y - tg ⁡ y x [Sugestão: Relacione o limite dado com a definição de derivada de uma função apropriada de y .]
As fórmulas das derivadas de sen ⁡ x , cos ⁡ x , tg ⁡ x , cotg ⁡ x , sec ⁡ x e cossec ⁡ x foram obtidas sob a hipótese de que x seja medido em radianos. Se x for medido em graus, então lim x → 0 ⁡ sen