Verificar que l i m r → 0 ∫ - 1 r d x x + ∫ r 1 d x x = 0 , mas a integral imprópria ∫ - 1 1 d x x diverge.

Passo 1

Para resolver este exercício é possível simplesmente calcular o limite dado no enunciado e definir se o resultado coincide com o esperado.

Ainda, deve-se determinar o meio pelo qual mostra que a integral é divergente.

Passo 2

Dito isso, seguindo as dicas dadas tem-se:

l i m r → 0 ∫ - 1 r d x x + ∫ r 1 d x x

Visto que a integral pode ser resolvida como:

∫ d x x = ln ⁡ x

E retornando à variável original:

= l i m r → 0 ln ⁡ x | r - 1 + ln ⁡ x | 1 r

Substituindo os limites de integração:

= l i m r → 0 ln ⁡ r - ln ⁡ 1 + ln ⁡ 1 - ln ⁡ r = 0

Passo 3

A primeira parte do exercício foi resolvida, tal que o resultado encontrado foi igual ao dado pelo enunciado.

Agora, para a segunda parte pode-se analisar apenas o limite de uma das integrais, obtendo então:

l i m r → 0 - ∫ - 1 r d x x = l i m r → 0 - ln ⁡ x | r - 1

l i m r → 0 - ln ⁡ r - ln ⁡ 1 = + ∞

Assim, como um dos limites já não existe, é possível concluir que a integral é divergente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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