Enunciado

46. Dado que a função f é contínua para todos os valores de x , f 3 = 2 , f ' x < 0 se x < 3 e f ' x > 0 se x > 3 , faça um esboço de um possível gráfico de f em cada um dos seguintes casos, onde forem satisfeitas as condições adicionais: (a) f ' é contínua em 3; (b) f ' x = - 1 , se x > 3 , e f ' x = 1 , se x > 3 ; (c) lim x → 3 - ⁡ f ' x = - 1 ,   lim x → 3 + ⁡ f ' x = 1 e f ' a ≠ f ' b , se a ≠ b .

Passo 1

Vamos olhar as primeiras condições que são comuns a todos os itens e depois avaliamos cada condição adicional.

Passo 2

Bem, temos o seguinte: f é contínua para todos os valores de x , f 3 = 2 , f ' x < 0 se x < 3 e f ' x > 0 se x > 3 . Isso quer dizer, a função é uma linha contínua pra todo valor de x , sendo que em x = 3 , essa função tem valor 2. Outra coisa, pelas derivadas, para   x < 3 , a função é decrescente porque a derivada é negativa, e para x > 3 é crescente pois a derivada é positiva. Isso vale pros 3 itens

Passo 3

a) f ' é contínua em 3.

Bem, pra isso, a função não pode ter indeterminação nesse ponto nem uma quina, é aí que a curva muda de decrescente para crescente, então um bom esboço é:

Passo 4

b) f ' x = - 1 , se x > 3 , e f ' x = 1 , se x > 3

Para que a derivada seja um valor constante, a função precisa ser um reta. Quando a derivada for negativa, a função será uma reta decrescente. Pelo teorema 4.4.3, quando a derivada for positiva, a função será uma reta crescente. Então o esboço fica:

Passo 5

c) lim x → 3 - ⁡ f ' x = - 1 ,   lim x → 3 + ⁡ f ' x = 1 e f ' a ≠ f ' b , se a ≠ b

Agora, no limite de 3 à esquerda, a derivada é negativa e no limite à direita a derivada é positiva, agora a função continua decrescente para virar crescente (teorema 4.4.3), mas no ponto 3 tem algo como uma quina, por exemplo. E as derivadas dos pontos a e b são diferentes, tranquilo isso, a função assume valores diferentes com nos outros itens. Então o esboço é:

Resposta

a)

b)

c)

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