Enunciado

Os exercícios de 43 a 45 referem-se à Seção Suplementar 6.7.

45. Um tanque de automóvel tem a forma de um cilindro circular reto com 8cm de raio, com um eixo horizontal. Ache a força total num extremo, quando a gasolina atingir 12cm de profundidade, sabendo que a densidade da gasolina é ρ   g / c m 3 .

Passo 1

Está questão, trata-se de uma parte que envolve aplicações de integrais definidas. Essas aplicações, podem está relacionada com as mais diversas áreas da engenharia. Para resolver está questão basta utilizar o que foi discutido na seção 6.7 mais conceitos de algumas técnicas de integração vistas até aqui

Passo 2

Da Seção 6.7, temos que a força total num extremo é dada por:

F = 2 ρ g ∫ - 8 8 4 - y 64 - y 2 d y = 2 ρ g ∫ - 8 8 4 64 - y 2 d y - ∫ - 8 8 y 64 - y 2 d y

Sendo assim, para o cálculo da força em questão nosso problema se resume em resolver as duas integrais definidas acima.

Passo 3

A segunda integral pode ser calculada por:

∫ - 8 8 y 64 - y 2 d y = 1 3 ( 64 - y 2 ) 3 2 - 8 8 = 0

Passo 4

A primeira integral pode ser calculada utilizando o conceito de substituição trigonométrica, ficando com:

y = 8 s e n θ         e         d y = 8 c o s θ d θ

A partir daí podemos obter quais são os limites de variação de θ substituindo os valors de x do limite de integração e obentendo que θ pertence ao intervalo fechado   - π 2 , π 2 .

Assim, temos que:

64 - y 2 = 64 - 64 s e n 2 θ = 8 c o s θ

Logo, a integral pode ser reescrita como:

∫ - 8 8 4 64 - y 2 d x = ∫ - π 2 π 2 4 . 8 c o s θ 8 c o s θ d θ = 128 . ∫ - π 2 π 2 1 + c o s 2 θ d θ =

= 12 8 . θ + 1 2 s e n 2 θ - π 2 π 2 = 12 8 . θ + 2 2 . s e n θ c o s θ - π 2 π 2 =

= 12 8 π 2 - - π 2 + 0 = 128 π

A força em questão é igual a:

F = 2 ρ g 128 π

Para obter o seu valor exato, basta substituir o valor exato da massa especifica da gasolina de acordo com as unidades do enunciado da questão.

Resposta

F = 2 ρ g 128 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral abaixo: ∫ d y y 4 y 2 - 1
Calcule a integral definida abaixo: ∫ 2 3 2 3 d y y 9 y 2 - 1
Avalie a integral: ∫ 0 π sen ⁡ 6 x cos ⁡ 3 xd x
Avalie a integral: ∫ 1 x 3 x 2 - 1d x
Avalie a integral: ∫ 1 + sen ⁡ x 1 + cos ⁡ xd x