Enunciado

a ) ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira

b ) determine os valores nos quais os extremos relativos ocorrem

c ) determine os intervalos nos quais f é crescente

d ) determine os intervalos nos quais f é decrescente

e ) faça um esboço do gráfico

f x = 2 - x - 1 1 3

Passo 1

Bem, para realizarmos toda essas analises que ele pediu, precisamos basicamente de uma coisa.

Analisar os sinais da primeira derivada. A partir disso sabemos todo o resto.

A nossa função é:

f x = 2 - x - 1 1 3

Primeiro vamos achar a derivada:

f ' x = 0 - 1 3 x - 1 - 2 3

f ' x = - 1 3 x - 1 - 2 3

Vamos analisar seu sinal agora

Passo 2

f ' x = - 1 3 x - 1 - 2 3

Repare que tem um expoente par ali naquele x - 1 , isso faz com que esse termo seja sempre positivo.

Mas quando multiplicarmos por - 1 3 vai ficar negativo. Então vamos ter:

f ' x < 0 ⟷ x ∈ R

Que basicamente é ela ser negativa em todos os valores de x

Passo 3

Vamos analisar cada uma das coisas que ele pediu.

Para termos extremos relativos precisamos ter mudança de sinal na derivada.

Isso porque a derivada está ligada ao crescimento ou decrescimento da função:

f ' x > 0 → c r e s c e n t e

f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e

Os extremos existem quando mudamos de crescente para decrescente, que vão ser os pontos de máximo.

E quando mudamos de decrescente para crescente, que vão ser os pontos de mínimo.

Assim, vamos ter:

d e c r e s c e n t e ⟷ x ∈ R

Não vamos ter extremos porque a derivada não muda de sinal, ela é sempre decrescente.

Passo 4

O esboço fica:

Resposta

Não tem extremos

d e c r e s c e n t e ⟷ x ∈ R

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