Enunciado

Dado uma função f e um número c .

a) Mostre que lim x → c ⁡ f ( x ) > 0 .

b) Verifique o Teorema 2.10.1 para a função f , encontrando um intervalo aberto contendo c , tal que f ( x ) > 0 para todo x ≠ c no intervalo.

f x = 7 2 x - 1 ;   c = 4

Passo 1

  1. Bem, em questões de limites temos que primeiro ver o que ele está pedindo. As vezes pode ser apenas fazer um cálculo mais simples. E outras vezes vamos precisar usar truques de cálculo. Desta vez o que ele pede é ver o que acontece se jogarmos nosso valor C no limite. Então vamos la!

lim x → 4 ⁡ 7 2 x - 1 =   7 2 ( 4 ) - 1

=   7 8 - 1

= 7 9 > 0

Show!!! Mostramos que nosso limite é positivo, como ele pediu lá no início. Vamos avançar!

Passo 2

b) Primeiro, vamos ver o que esse teorema no diz:

Se existir lim x → c ⁡ F ( x ) e for positivo, então haverá um intervalo aberto contendo C, tal que f x > 0 para todo x   ≠ c no intervalo.

Bem, ele então nos garante que podemos escrever um intervalo onde nossa função é só positiva. E melhor esse intervalo é mais que apenas um número que achamos para nossa função ser positiva ( Neste caso , c = 3 )

Então vamos lá, precisamos fazer estudo de Sinais. Isso mesmo, seus estudos em pre-calculo estando sinais não foi em vão. Vamos usá-lo agora!

Então para nossa função ser positiva, pode ocorrer duas coisas. Ou denominador e numerador são negativos, ou os dois são positivos. Então temos que :

7 > 0     sempre, então isso nos força a char um intervalo onde o denominador seja positivo

  2 x - 1 > 0

x > 1 2

Então achamos o intervalo que precisamos

x > 1 2

Assim o conjunto solução é 1 2 ,   + ∞

Resposta

a)

lim x → 4 ⁡ 7 2 x - 1 = 7 9 > 0

b)

O conjunto solução é 1 2 ,   + ∞

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55. (a) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. (b) Use sua calculadora para encontrar o comprimento 0,01 que contenha uma raiz. cos ⁡ x = x 3
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