Enunciado

55 (a) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real.

(b) Use sua calculadora para encontrar um intervalo de comprimento 0,01 que contenha uma raiz.

cos ⁡ x = x 3

Passo 1

Falaeee, belezinha?

Bom... essa questão possui dois itens, e no item a) ela quer que a gente demonstre que a equação abaixo tem, pelo menos, uma raiz real:

cos ⁡ x = x 3

Para fazer isso podemos definir uma nova função f ( x ) que será a diferença entre as funções cos ⁡ x e x 3 . Assim haverá, pelo menos, uma raiz se:

- A função f ( x ) for continua num intervalo

- E se acharmos dois pontos tal que o f x 1 < 0 e f x 2 > 0

Isso vai significar que a função cortou o eixo x , tendo ali sua raiz.

Além disso, no item b) ela pede pra gente, utilizando uma calculadora, encontrar um intervalo de comprimento 0,01 que contenha uma raiz.

E pra isso, não haverá muito jeito, faremos por tentativa e erro.

Mas fica tranquilo que vou te ajudar em todo o passo a passo. Vem comigo!

Passo 2

Pra começar, podemos definir a seguinte função:

f x = cos ⁡ x - x 3

Repare que essa função que definimos é continua e uma das formas de provarmos isso é usando o seguinte teorema. Olha só:

Seja f e g duas funções contínuas em a e se c , uma constante, então as seguintes funções também são contínuas em a :

  1. f + g
  2. f - g
  3. c f
  4. f g
  5. f g se g ( a ) ≠ 0

A função cos ⁡ x e o polinômio x 3 são contínuos em todo seu domínio.

E como vimos acima, no item 2 do teorema, a função diferença entre duas funções contínuas também será contínua,

Assim, vemos que nossa função f ( x ) é contínua em todo domínio.

Agora bora lá, procurar a tal raiz.

Passo 3

A ideia para provarmos que existe, pelo menos, uma raiz vai ser basicamente o seguinte:

  1. Provar que a função é continua num intervalo
  2. Achar dois pontos tal que o f x 1 < 0 e f x 2 > 0

A primeira condição já foi. Então basta achar um valor de f ( x ) positivo e um negativo, pois assim, garantirmos que a curva irá cruzar o eixo x , portanto, uma raiz. Olha só uma ilustração desse lance de cruzar o eixo x :

Vamos ver

f x = cos ⁡ x - x 3

Para x = 0 :

f 0 = cos ⁡ 0 - 0 3 = 1 > 0

Achamos um valor positivo, agora basta acharmos um negativo. Como o c o s de um número é no máximo 1 , basta escolhermos um valor de x tal que x 3 seja maior que 1.

Para x = 2 :

cos ⁡ 2 - 2 3 ≅ - 0 , 416 - 8

cos ⁡ 2 - 2 3 ≅ - 8 , 416 < 0

E encontramos. Assim, pelo Teorema do Valor Intermediário, vemos que existe pelo menos uma raiz entre os pontos

x = 0 e x = 2 .

Passo 4

(b) Esse item é tentativa e erro. Usando uma calculadora vemos o seguinte.

Vamos escolher dois valores para x que possuam diferença de 0,01 unidades.

Vamos fazer:

x 1 = 0,00     e     x 2 = 0,01

Jogando na função, teremos:

f x = cos ⁡ x - x 3

f 0,00 = cos ⁡ 0,00 - 0,00 3 = 1 > 0

f 0,0 1 = cos ⁡ 0,0 1 - 0,0 1 3 = 0,99999 > 0

Como os dois valores foram positivos, significa que a raiz não está nesse intervalo.

Vamos escolher outro intervalo.

x 1 = 0 , 86     e     x 2 = 0 , 87

Jogando na função, teremos:

f x = cos ⁡ x - x 3

f 0 , 86 = cos ⁡ 0 , 86 - 0 , 86 3 = 0,016 > 0

f 0 , 87 = cos ⁡ 0 , 87 - 0 , 87 3 = - 0,014 < 0

Opa, achamos um valor positivo de f ( x 1 ) e um valor negativo de f x 2 tal que x 2 - x 1 = 0,01 . Dessa maneira, o intervalo é:

( 0,86   ,   0,87 )

E assim, matamos mais uma questão. Partiu próxima.

Resposta

a) Demonstração

b) ( 0,86   ,   0,87 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Do gráfico de g , diga os intervalos em que g é contínua.
Use a definição de continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado. f x =2 x + 3 x - 2 , ( 2 ,∞ )
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . h t = 2 t - 3 t 2 1 + t 3 , e ma = 1 .