Enunciado

Dado que

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = 7 e lim x → - ∞ ⁡ g ( x ) = - 6 ,

encontre os limites eu existirem. Se o limite não existir, explique por quê.

(a) lim x → - ∞ ⁡ [ 2 f ( x ) - g ( x ) ]

(b) lim x → - ∞ ⁡ [ 6 f ( x ) + 7 g ( x ) ]

(c) lim x → - ∞ ⁡ [ x 2 + g x ]

(d) lim x → - ∞ ⁡ [ x 2 ∙ g x ]

(e) lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) 3

(f) lim x → - ∞ ⁡ g ( x ) f ( x )

(g) lim x → - ∞ ⁡ f x + g x x

(h) lim x → - ∞ ⁡ x ∙ f x ( 2 x + 3 ) g ( x )

Passo 1

Lembrando das propriedades básicas dos limites, vamos fazer esses cálculos de forma a verificar se esses limites no infinito vão existir ou não. Você já sabe que, pra um limite não existir, sua resposta deve dar um resultado infinito ou indeterminado!

Passo 2

(h) lim x → - ∞ ⁡ x ∙ f x ( 2 x + 3 ) g ( x ) =

= l i m x → - ∞ x ∙ l i m x → - ∞ f x ( 2 l i m x → - ∞ x + 3 ) ∙ l i m x → - ∞ g ( x ) = - ∞ ∙ 7 2 ∙ - ∞ + 3 ∙ ( - 6 ) =

= - ∞ + ∞

Resultamos em uma indeterminação. Esse tipo de indeterminação pode ser resolvida remanejando a função do limite, ou usando a regra de l’Hopital. Como aqui não conhecemos as funções, diremos que o limite não existe!

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ x ∙ f x ( 2 x + 3 ) g ( x ) = ∄

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Nos exercícios de 57 a 60 , prove que lim x → + ∞ ⁡ f x = 1 , aplicando a Definição 2.5 . 1 ; isto é, dado ε0 , mostre que existe um número N0 tal que se xN , então f x - 1ε . 60 )f x = x 2 + 2 x x 2
Nos exercícios de 57 a 60 , prove que lim x → + ∞ ⁡ f x = 1 , aplicando a Definição 2.5 . 1 ; isto é, dado ε0 , mostre que existe um número N0 tal que se xN , então f x - 1ε . 57 )f x = x x - 1
Prove que lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 4 = + ∞ , mostrando que para todo N0 existe um M0 tal que se xM então x 2 - 4N
Prove que lim x → - ∞ ⁡ 8 x + 3 2 x - 1 = 4 , mostrando que para todo ε0 existe um número N0 , tal que se xN então 8 x + 3 2 x - 1 - 4ε .
Nos exercícios de 57 a 60 , prove que lim x → + ∞ ⁡ f x = 1 , aplicando a Definição 2.5 . 1 ; isto é, dado ε0 , mostre que existe um número N0 tal que se xN , então f x - 1ε . 58 )f x = 2 x 2 x + 3