Enunciado

Nos exercícios de 57 a 60 , prove que lim x → + ∞ ⁡ f x = 1 , aplicando a Definição 2.5 . 1 ; isto é, dado ε > 0 , mostre que existe um número N > 0 tal que se x > N , então f x - 1 < ε .

57 )   f x = x x - 1

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer pra poder completar essa demonstração é escrever a expressão de f x dentro do módulo:

x x - 1 - 1 < ε

E agora manipulando um pouco:

x x - 1 - x - 1 x - 1 < ε

x - x + 1 x - 1 < ε

1 x - 1 < ε

O que é o mesmo que, invertendo:

x - 1 > 1 ε

Passo 2

Como o limite que estamos fazendo é pro infinito, pra achar o valor de N a gente pode tirar o sinal de > e esquecer do módulo:

N - 1 = 1 ε

N = 1 ε + 1

N = 1 + ε ε

Conclusão que chegamos é que se para todo ε > 0 , não importa o quão pequeno, existir um número N = 1 + ε ε tal que x > N , então será verdade f x - 1 < ε .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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