Enunciado

Nos exercícios de 57 a 60 , prove que lim x → + ∞ ⁡ f x = 1 , aplicando a Definição 2.5 . 1 ; isto é, dado ε > 0 , mostre que existe um número N > 0 tal que se x > N , então f x - 1 < ε .

60 )   f x = x 2 + 2 x x 2 - 1

Passo 1

Pra gente realizar essa demonstração temos que buscar um valor de N que satisfaça, ok? Pra isso uma boa primeira ideia é pegar f x - 1 < ε e colocar a expressão de f x dentro dela! Saca só:

x 2 + 2 x x 2 - 1 - 1 < ε

E agora manipulando um pouco:

x 2 + 2 x x 2 - 1 - x 2 - 1 x 2 - 1 < ε

x 2 + 2 x - x 2 + 1 x 2 - 1 < ε

2 x + 1 x 2 - 1 < ε

Passo 2

Como o limite que estamos fazendo é pro infinito, nem rola estresse com esse módulo. A gente consegue achar N se esquecermos do módulo e fizermos x = N . Dá uma olhada:

2 N + 1 N 2 - 1 = ε

2 N + 1 N 2 - 1 = ε N 2 - 1 N 2 - 1

2 N + 1 = ε N 2 - ε

0 = ε N 2 - 2 N - ε - 1

Por fim:

ε N 2 + - 2 N + - ε - 1 = 0

Usando a fórmula de Bháskara no modelo

a N 2 + b N + c = 0

N 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Temos:

N 1,2 = 2 ± 4 - 4 ε - ε - 1 2 ε

N 1,2 = 2 ± 4 1 - ε - ε - 1 2 ε

N 1,2 = 2 ± 2 1 - ε - ε - 1 2 ε

N 1,2 = 1 ± ε 2 + ε + 1 ε

Como a ideia é achar um N tal que x > N satisfaça a definição, não faz sentido escolhermos o N com valor negativo. Logo:

N = 1 + ε 2 + ε + 1 ε

Passo 3

Agora a gente vai interpretar esse resultado. Tendo o N encontrado, se x = N então é satisfeito:

2 x + 1 x 2 - 1 = ε

Agora para valores maiores que N , isto é, para x > N , ai satisfazemos:

2 x + 1 x 2 - 1 < ε

Conclusão que chegamos é que se para todo ε > 0 , não importa o quão pequeno, existir um número N = 1 + ε 2 + ε + 1 ε tal que x > N , então será verdade f x - 1 < ε .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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