Deduza a fórmula de redução (9).

Passo 1

Devemos lembrar de algumas propriedades que dizem que a m + m = a m . a n , então a integral de s e n n ( x ) pode ser escrita como:

∫ s e n n x d x = ∫ s e n n - 1 x s e n x d x

Se chamarmos u = s e n n - 1 ( x ) e nesse caso d u = n - 1 s e n n - 2 x cos ⁡ x d x usando a regra da cadeia.

Podemos chamar também d v = s e n x d x e nesse caso v = - c o s ⁡ ( x ) . Podemos usar a fórmula de integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Aplicando na fórmula, temos:

∫ s e n n - 1 x s e n x d x = s e n n - 1 x - cos ⁡ x - ∫ - cos ⁡ x n - 1 s e n n - 2 x cos ⁡ x d x

Multiplicando e simplificando:

∫ s e n n x d x = - s e n n - 1 x cos ⁡ x + ( n - 1 ) ∫ s e n n - 2 x cos 2 ⁡ x d x

Podemos aplicar a identidade trigonométrica que diz que cos 2 ⁡ x + s e n 2 x = 1 .

∫ s e n n x d x = - s e n n - 1 x cos ⁡ x + ( n - 1 ) ∫ s e n n - 2 x ( 1 - s e n 2 x ) d x

Aplicando propriedade distributiva:

∫ s e n n x d x = - s e n n - 1 x cos ⁡ x + ( n - 1 ) ∫ s e n n - 2 x - s e n n x d x

∫ s e n n x d x = - s e n n - 1 x cos ⁡ x + ( n - 1 ) ∫ s e n n - 2 x d x - ( n - 1 ) ∫ s e n n x d x

Juntando os termos semelhantes, temos:

∫ s e n n x d x + ( n - 1 ) ∫ s e n n x d x = - s e n n - 1 x cos ⁡ x + ( n - 1 ) ∫ s e n n - 2 x d x

[ 1 + ( n - 1 ) ] ∫ s e n n x d x = - s e n n - 1 x cos ⁡ x + ( n - 1 ) ∫ s e n n - 2 x d x

Simplificando:

n ∫ s e n n x d x = - s e n n - 1 x cos ⁡ x + ( n - 1 ) ∫ s e n n - 2 x d x

Dividindo os dois lados por n , temos:

∫ s e n n x d x = - 1 n . s e n n - 1 x cos ⁡ x + n - 1 n ∫ s e n n - 2 x d x

Resposta

∫ s e n n x d x = - 1 n . s e n n - 1 x cos ⁡ x + n - 1 n ∫ s e n n - 2 x d x

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