Enunciado

a Deduza a identidade

sec 2 ⁡ x t g x = 1 s e n x cos ⁡ x

b Use a identidade s e n 2 x = 2 s e n x cos ⁡ x junto ao resultado de a para calcular ∫ c o s s e c x   d x .

c Use a identidade cos ⁡ x = s e n ( π / 2 ) - x junto ao resultado de a para calcular ∫ sec ⁡ x d x .

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos esse exercício vamos ter que lembrar algumas identidade trigonométricas. Uma delas é a função:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

A outra é a função:

t g x = s e n x cos ⁡ x

E ainda temos:

c o s s e c x = 1 s e n x

Passo 2

Assim, para a primeira parte, vamos apenas aplicar as transformações trigonométricas:

sec 2 ⁡ x t g x = 1 cos ⁡ x 2 1 s e n x cos ⁡ x

Tal que:

sec 2 ⁡ x t g x = 1 cos 2 ⁡ x cos ⁡ x s e n x

E, cortando os fatores comuns que se cancelam:

sec 2 ⁡ x t g x = 1 s e n x cos ⁡ x

Passo 3

Agora, para a segunda parte do exercício, vamos transformar o nosso integrando em:

∫ c o s s e c x   d x = ∫ 1 s e n x d x

Para usar a identidade s e n 2 x = 2 s e n x cos ⁡ x , vamos usar a substituição x = 2 u , tal que:

u = x 2   e   d x = 2 d u

E vamos obter:

∫ 1 s e n x d x = ∫ 1 s e n 2 u d x

Assim, usando a identidade:

∫ 1 s e n 2 u d x = ∫ 1 2 s e n u cos ⁡ u 2 d u = ∫ 1 s e n u cos ⁡ u d u

Passo 4

Nessa última integra encontrada, vamos aplicar a outra identidade que foi deduzida na primeira parte para encontrar:

∫ 1 s e n u cos ⁡ u d u = ∫ sec 2 ⁡ u t g u d u

Observando a forma desse último termo obtido, conseguimos perceber que ela pode ser resolvida pelo método da substituição simples com v = t g u , tal que d v = sec 2 ⁡ u d u , ou seja:

∫ sec 2 ⁡ u t g u d u = ∫ d v v

E encontramos:

∫ d v v = ln ⁡ v + C

Dessa forma, desfazendo as substituições feitas para retornar a variável de origem, teremos:

∫ c o s s e c x   d x = ln ⁡ v + C

Tal que:

∫ c o s s e c x   d x = ln ⁡ t g u + C

E, portanto:

∫ c o s s e c x   d x = ln ⁡ t g x 2 + C

Passo 5

Por fim, vamos calcular a integral:

∫ sec ⁡ x d x

Para fazer isso, vamos primeiro considerar a identidade deduzida:

sec 2 ⁡ u t g u = 1 s e n v cos ⁡ u

Substituindo a função cos ⁡ x pela identidade dada na parte c do exercício, teremos:

1 s e n u cos ⁡ u = 1 s e n u   s e n ( π / 2 ) - u

Se observarmos bem esse último resultado, vamos perceber que o denominador representa uma semi substração de cossenos. Lembrando que sua equação é dada por:

s e n a   s e n b = cos ⁡ a - b - cos ⁡ a + b 2

Teremos:

s e n u   s e n ( π / 2 ) - u = cos ⁡ u - π 2 - u - cos ⁡ u + π 2 - u 2

Ou seja:

s e n u   s e n ( π / 2 ) - u = cos ⁡ 2 u - π 2 2

E a identidade deduzida será:

sec 2 ⁡ u t g u = 2 cos ⁡ 2 u - π 2

Passo 6

Dessa forma, reescrevendo a integral de interesse como:

∫ sec ⁡ x d x = ∫ 1 cos ⁡ x d x

E aplicando a substituição x = 2 u - π / 2 , tal que:

u = x 2 + π 4   e   d x = 2 d u

Iremos ter:

∫ 1 cos ⁡ 2 u - π 2 2 d u = ∫ 2 cos ⁡ 2 u - π 2 d u

Como foi demonstrado no Passo 5 , esse integrando agora pode ser mostrado como:

∫ 2 cos ⁡ 2 u - π 2 d u = ∫ sec 2 ⁡ u t g u d u

E resultará em:

∫ sec 2 ⁡ u t g u d u = ln ⁡ t g u + C

Com isso, substituindo a variável de origem:

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ t g u + C = ln ⁡ t g x 2 + π 4 + C

Ou ainda:

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ s e n x 2 + π 4 cos ⁡ x 2 + π 4 + C

Como último passo, precisamos lembrar da teoria de ângulos complementares: um ângulo complementar é aquele em que somado a um outro ângulo já dado resulta em 90 ° ou π / 2 . Para as funções seno e cosseno, temos que as relações de ângulos complementares delas são dadas por:

s e n u = cos ⁡ π 2 - u   e cos ⁡ u = s e n π 2 - u

Portanto, as funções trigonométricas que estão dentro da função logarítmica serão iguais a:

s e n x 2 + π 4 = cos ⁡ π 2 - x 2 + π 4 → s e n x 2 + π 4 = cos ⁡ π 4 - x 2

E

cos ⁡ x 2 + π 4 = s e n π 4 - x 2

A partir disso, teremos:

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ cos ⁡ π 4 - x 2 s e n π 4 - x 2 + C

Logo:

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ c o t g π 4 - x 2 + C

Resposta

b   ∫ c o s s e c x   d x = ln ⁡ t g x 2 + C

c   ∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ c o t g π 4 - x 2 + C

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