Enunciado

Defina funções f , g e h que satisfaçam:

  1. f não é contínua em 2 pontos de seu domínio;
  2. g é contínua em todos os pontos de seu domínio mas não é contínua em R ;
  3. h ∘ f é contínua em todos os pontos do domínio de f ;

Faça o gráfico das funções f , g , h e h ∘ f .

Passo 1

  1. Vamos definir a função:
  2. f x = 1 x - 1 x - 2 ,       x ≠ 1   e   x ≠ 2 2                         ,       x = 1 1                         ,       x = 2

    Ela não é contínua em x = 1 e x = 2 pois não é definida nesses dois pontos, ou seja, o denominador zera.

    Passo 2

  3. Temos que g x :
  4. g x = 1 x + 2

    Que é contínua em todos os pontos de seu domínio, que é R - - 2 , mas não é contínua em R .

    Passo 3

  5. E temos que h x :

h x = x

aqui temos que h ∘ f = h f x = f x , resultando na própria f x .

Passo 2

Vamos fazer os gráficos das funções:

Para f temos que é definida em - ∞ , ∞ e é contínua em - ∞ , ∞ - 1,2 :

Para g x temos que ela é contínua em todos os pontos de seu domínio, mas não é contínua em - ∞ , + ∞ , e o ponto x = - 2 não pertence ao domínio da função:

E para h x e h ∘ f temos a mesma função f x = x , que é contínua em todos os pontos do domínio:

Resposta

  1. f x = 1 x - 1 x - 2 ,       x ≠ 1   e   x ≠ 2 2                         ,       x = 1 1                         ,       x = 2
  2. g x = 1 x + 2
  3. h x = x

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