Enunciado

Determine, se existirem, os valores de x ∈ D f , nos quais a função f x não é contínua.

f x = 1 - cos ⁡ x ,           x < 0 x 2 + 1             ,         x ≥ 0

Passo 1

Vamos ver o que é necessário para uma função ser contínua no ponto a :

  1. f é definida no ponto a ;
  2. lim x → a ⁡ f x existe;
  3. lim x → a ⁡ f x = f a .

Vamos então ver se as três condições são aceitas, se não forem, achamos o valor de x em que a função não é contínua.

Passo 2

Primeiro vamos ver se f é definida no ponto x = 0 :

A função nos diz que:

f 0 = 0 2 + 1 = 1

Então ela é definida nesse ponto.

Passo 3

Vamos agora ver se o lim x → 0 ⁡ f x existe, para isso valor calcular esse limite pela direita e pela esquerda, se eles forem iguais, o limite existe e possui esse valor:

lim x → 0 ⁺ ⁡ f x = lim x → 0 ⁺ ⁡ x 2 + 1   = 0 2 + 1 = 1

lim x → 0 ⁻ ⁡ f x = lim x → 0 ⁻ ⁡ 1 - cos ⁡ x = 1 - cos ⁡ 0 = 1 - 1 = 0

O limite não existe, ele diverge, assim lim x → 0 ⁡ f x não existe, e não passa pela segunda condição, assim a função não é contínua em x = 0 .

Resposta

f x não é contínua em x = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

56. (a) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. (b) Use sua calculadora para encontrar o comprimento 0,01 que contenha uma raiz. ln ⁡ x = 3 - 2 x
54. Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado. s e n x = x 2 - x , ( 1 ,2 )
55. (a) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. (b) Use sua calculadora para encontrar o comprimento 0,01 que contenha uma raiz. cos ⁡ x = x 3
Para quais valores da constante c a funçãog é contínua em - ∞ , ∞ ? g ( x ) = x 2 - c 2,s ex4 c x + 20 ,s ex ≥ 4
Explique usando os teoremas 4,5,7 e 9, por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Estabeleça o domínio25. f ( x ) = e x sin ⁡ 5 x