Enunciado

Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule ∇ f x , y , z sendo

f x , y , z = x 2 + y 2 + 1 z 2

Passo 1

Para uma função de três variáveis f x , y , z o gradiente é definido por

∇ f x , y , z = f x x , y , z , f y x , y , z , f z x , y , z

Calculando as derivadas

f x x , y , z = 2 x z 2 x 2 + y 2 + 1 z 2 - 1

f y x , y , z = 2 y z 2 x 2 + y 2 + 1 z 2 - 1

f z x , y , z = 2 z x 2 + y 2 + 1 z 2 ln ⁡ x 2 + y 2 + 1

E o gradiente é dado por

∇ f x , y , z = 2 x z 2 x 2 + y 2 + 1 z 2 - 1 , 2 y z 2 x 2 + y 2 + 1 z 2 - 1 , 2 z x 2 + y 2 + 1 z 2 ln ⁡ x 2 + y 2 + 1

Resposta

∇ f x , y , z = 2 x z 2 x 2 + y 2 + 1 z 2 - 1 , 2 y z 2 x 2 + y 2 + 1 z 2 - 1 , 2 z x 2 + y 2 + 1 z 2 ln ⁡ x 2 + y 2 + 1

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Seja U x , y = x 2 2 + 1 2 y 2 a função energia potencial associada ao campo F → . Determine F →
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Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 denomina-se conservativo se existe um campo escalar φ: A → R tal que ∇ φ x , y =F → x , y
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