Determine todas as funções z = phi(x, y), x < 0 tal que φ(-1,1) = pi / 4 e para y > 0

∇ φ x , y ,   = - y x 2 + y 2   ,   x x 2 + y 2    

Passo 1

Vamos encontrar a função que a questão pede, beleza? Como temos a garantia de que y é não nulo, vamos integrar em y , já que lá vamos fazer uma divisão. Você vai entender melhor com as contas. Vmos la!

φ x , y = ∫ ∂ φ ∂ y   d y =   ∫   x x 2 + y 2   d y =   x   ∫ 1 x 2 + y 2   d y =   x   ∫ 1 y 2 x 2 + 1   ⋅ x 2   d y   = 1 x   ∫ 1 y 2 x 2 + 1     d y =     ∫ 1 y 2 x 2 + 1     1 x d y    

Vamos fazer uma substituição para facilitar nossas contas, u = y x         temos que d d u = 1 x d y

    ∫ 1 y 2 x 2 + 1     1 x d y     = ∫ 1 1 + u 2   d u =   a r c t g u + C y =   a r c t g   y x + C ( x )

Perceba que temos uma constante de x já que nossa função também depende de x e integramos apenas com relação a x e que, .

Então,

φ x , y = a r c t g   y x + C ( x )

Passo 2

Vamos tentar descobrir qual a constante que depende de y . Vejamos que

∂ φ ∂ x =   - y x 2 + y 2 + C ' x  

Por outro lado,

  ∂ φ ∂ x = - y x 2 + y 2

Sendo assim,

- y x 2 + y 2 + C ' y   =   - y x 2 + y 2

Temos que

C ' y = 0   ⟹ C y = 0 + K      

Então, nossa função,

φ x , y = a r c t g   y x +   K

Precisamos que a função passe pelos pontos     x = - 1 ,   y = 1 ,   z = π 4 . Ou seja,

π 4 = φ - 1,1 =   a r c t g - 1 + K     ⟹ k = 3 π 4 + π 4 = π  

Logo, a função que precisamos é

φ x , y =   a r c t g   y x + π

Resposta

φ x , y =   a r c t g   y x + π

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