Enunciado

A deflexão estática y ( x ) de uma viga que está engonçada em ambos os extremos, satisfaz a equação diferencial (9) e as condições

y 0 = 0 ,   y ' ' 0 = 0 ,   y L = 0 ,   y ' ' L = 0

Use a transformada de Laplace para resolver (9) sujeita a (12) quando w x = w 0 ,   0 < x < L

Veja a figura 7.51

Passo 1

E aííí meu colega, como vai?

Aqui temos uma aplicação física de equações diferenciais, onde queremos encontrar a deflexão y ( x ) de uma viga a partir de

d 4 y d x 4 = w ( x ) E I

Em que y 0 = 0 ,   y ' ' 0 = 0 ,   y L = 0 ,   y ' ' L = 0

Além disso, temos que w x = w 0 em todo o comprimento da viga

E bom, para resolver essa >equaçãozinha

Ah, só pra lembrar, aqui tem algumas transformadas que podemos utilizar:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L y ( n ) t = s n . Y s - s n - 1 . y 0 - s n - 2 y ' 0 - … - y n ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

L δ ( t + k ) = e k s

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L e α . f t = F ( s - α )

Agora bora lá!

Passo 2

Vamos fazer a transformada da equação:

d 4 y d x 4 = w 0 E I

s 4 . Y s - s 3 . y 0 - s 2 y ' 0 - s . y ' ' 0 - y ' ' ' 0 = w 0 E I . 1 s  

Sabemos que y 0 = 0   e   y ' ' 0 = 0 .

O y ' ( 0 ) e y ' ' ' ( 0 ) a gente deixa assim por enquanto, porque são constantes que não sabemos o valor, certo?

s 4 . Y s - s 2 y ' 0 - y ' ' ' 0 = w 0 E I . 1 s  

Y s . s 4 = w 0 E I . 1 s + s 2 y ' 0 + y ' ' ' ( 0 )

Isolando Y ( s ) :

Y s = w 0 E I . 1 s 5 + y ' 0 s 2 + y ' ' ' 0 s 4

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso, vamo que vamo

Passo 3

Temos

Y s = w 0 E I . 1 s 5 + y ' 0 s 2 + y ' ' ' 0 s 4

Vamos manipular algebricamente as frações para termos algo parecido com a transformada de x n , que é n ! s n + 1 :

Y s = w 0 E I . 4 ! 24 1 s 5 + y ' 0 s 2 + 3 ! 6 y ' ' ' 0 s 4

Então temos:

y x = w 0 24 . E I . x 4 + y ' 0 x + y ' ' ' 0 6 x ³   ( I )

Belezinha, agora ainda falta só mais um pouco, juro juradinho!

Precisamos usar as informações de que y L = 0 ,   y ' ' L = 0 para encontrarmos as constantes y ' ( 0 ) e y ' ' ' ( 0 ) , vamos lá!

Passo 4

Temos

y x = w 0 24 . E I . x 4 + y ' 0 x + y ' ' ' 0 6 x ³   ( I )

Vamos encontrar y ' ( x ) e y ' ' ( x )

Derivando uma vez:

y ' x = w 0 6 . E I x ³ + y ' 0 + y ' ' ' 0 . x

Derivando de novo:

y ' ' x = w 0 2 E I . x ² + y ' ' ' 0

Agora vamos aplicar y L e y ' ' ( L )

Passo 5

Temos y L = 0 :

y L = w 0 24 . E I . L 4 + y ' 0 L + y ' ' ' 0 6 L 3 = 0

E y ' ' L = 0 :

y ' ' L = w 0 2 E I . L ² + y ' ' ' 0 = 0

Através das duas equações, encontramos

y ' 0 = 1 24 w 0 E I L ³

y ' ' ' 0 = - 1 2 . w 0 L E I

Agora vamos substituir esse valor lá em ( I ) ok?

Passo 6

Temos y ' 0 = 1 24 w 0 E I L ³

y ' ' ' 0 = - 1 2 . w 0 L E I

E temos que y ( x ) é:

y x = w 0 24 . E I . x 4 + y ' 0 x + y ' ' ' 0 6 x 3

Substituindo y ' ( 0 ) e y ' ' ' ( 0 ) :

y x = w 0 24 . E I . x 4 + 1 24 w 0 E I L 3 x - w 0 L 12 E I x ³  

E fimmmmmm

Resposta

y x = w 0 24 . E I . x 4 + 1 24 w 0 E I L 3 x - w 0 L 12 E I x ³

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