Enunciado

Nos problemas 1-26, use a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário

y ' + y = f t

Em que f t = 1 ,   0 ≤ t < 1 - 1 ,   t ≥ 1 ,   y 0 = 0

Passo 1

Oii, como vai? Vamos lá matar esse probleminha

Temos a equação diferencial:

y ' + y = f t

Em que f t = 1 ,   0 ≤ t < 1 - 1 ,   t ≥ 1 ,   y 0 = 0

Que podemos escrever assim:

y ' + y = u t - 2 u ( t - 1 ) ,   y 0 = 0

Mas não vamos usar aqueles conceitos antigos para resolver essas equações ok? Vamos utilizar a Transformada de Laplace

Então, vamos fazer a transformada de Laplace da nossa equação, isolar o Y ( s ) e aí depois encontramos a transformada inversa, para termos y ( t )

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

y ' + y = u t - 2 u ( t - 1 )

s . Y s - y 0 + Y s = 1 s - 2 s e - s

Sabemos do enunciado que y 0 = 0

s . Y s - 0 + Y s = 1 s - 2 s e - s

Colocando Y ( s ) em evidência:

Y s . ( s + 1 ) = 1 s - 2 s e - s

Y s = 1 s + 1 1 - 2 e - s s

Y s = 1 - 2 e - s s s + 1

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

Y s = 1 - 2 e - s s s + 1

Y s = 1 s s + 1 + - 2 e - s s s + 1

Y s = 1 s s + 1 - 2 e - s 1 s s + 1

Expandindo a parte de dentro em frações parciais:

1 s . ( s + 1 ) = A s + B s + 1

De onde encontramos A = 1 e B = - 1

Então:

Y s = 1 s - 1 s + 1 - 2 e - s 1 s - 1 s + 1

Fazendo a transformada inversa, de acordo com as informações do passo 1, temos

y t = 1 - e - t - 2 1 - e - ( t - 1 ) . u ( t - 1 )

Resposta

y t = 1 - e - t - 2 1 - e - ( t - 1 ) . u ( t - 1 )

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