Enunciado

Demonstre que

l i m x → 2   1 x = 1 2

Passo 1

Para demonstrar o limite usando a definição formal, primeiro vamos começar manipulando a desigualdade:

1 x   - 1 2   < ϵ

Podemos reescrever essa expressão como:

  1 x   - 1 2   = 1 x - 2 4 = 2 - x 2 x

Agora, queremos que 2 - x 2 x < ϵ

Se observarmos que x está próximo de 2, então podemos assumir que x - 2 < 1 , o que implica em 1 < x < 3 (ou seja, x está a uma distância de 1 de 2).

Vamos então considerar δ de forma que x   -   2 < δ . Isso significa que:

2 - δ < x < 2 + δ

Como queremos garantir que x esteja próximo de 2, podemos assumir que δ < 1 para que x permaneça no intervalo 1 < x < 3 .

Então nosso foco deve ser em achar δ que permita essa relação ser válida!!!

Passo 2

Bom, se x > 1 , então

1 x < 1

1 2 | x | < 1 2

Então para que o limite exista, uma escolha que se mostrará suficiente é δ = m i n { 1 ,   2 ϵ } pois

x - 2 2 x

= x - 2 ⋅ 1 2 x < 2 ϵ ⋅ 1 2

= ϵ

Passo 3

Agora vamos de fato mostrar que essa escolha para δ é suficiente para demonstrar o limite!

Como δ = m i n { 1 ,   2 ϵ } , então δ ≤ 1 e δ ≤ 2 ϵ .

Se δ ≤ 1 , então | x - 2 | < δ ≤ 1 .

Assim, como | x - 2 | < 1 , segue (como vimos no passo 2) que

1 2 | x | < 1 2

Além disso, como δ ≤ 2 ϵ , temos que | x - 2 | < 2 ϵ . Desta forma, temos que

0 < x - 2 < δ 1 x - 1 2 = x - 2 2 x = x - 2 ⋅ 1 2 x < 2 ϵ ⋅ 1 2 = ϵ

Provamos assim que o limite existe e vale 1 / 2 . Vale mencionar que outras escolhas para δ também são possíveis para a demonstração.

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que f ( x ) e g ( x ) esteja definida para qualquer x e que lim x → 0 ⁡f x = 1 2 e lim x → 0 ⁡g x = 2 . Determine o limite l i m x → 0 1 f ( x )
Determine o valor que underset(x - 0)(l i m) (g (x)) para que underset(x - 0)(l i m) ((4 - g (x)))/(x) = 1
Suponha que f ( x ) e g ( x ) esteja definida para qualquer x e que lim x → 0 ⁡f x = 1 2 e lim x → 0 ⁡g x = 2 . Determine o limite l i m x → 0f ( x ) ⋅ c o s x x - 1
Determine o valor que underset(x - 0)(l i m) (g (x)) para que underset(x - - 4)(l i m) ( x . underset(x - 0)(l i m) (g (x)) = 2
Determine os limites nos Exercícios 31-38. As funções são contínuas no ponto sendo aproximado? 32. lim t → 0 ⁡ sen ⁡π 2 cos ⁡ t g t