Enunciado

Use o comportamento assintótico de f x = cos ⁡ x +   1 / x 2 para esboçar seu gráfico sem seguir o roteiro de esboço de curvas desta seção.

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos mostrar que a função possui uma assíntotas oblíqua. Para isso, iremos utilizar o seguinte limite

lim x → ∞ ⁡ f x - m x + b = 0

Onde m x + b é a equação da assíntota oblíqua.

Passo 2

Para mostrar o comportamento assintótico de f ( x ) , iremos resolver o seguinte limite

lim x → ∞ ⁡ cos ⁡ x +   1 / x 2 - cos ⁡ x = 0

Dessa forma, o gráfico é assintótico em cos ⁡ x .

Passo 3

Podemos ver que

l i m x → 0 cos ⁡ x +   1 / x 2 = ∞

Dessa forma, x = 0 é uma assíntota vertical. Não é necessário calcular as derivadas e verificar pontos de inflexão e de máximo e mínimo, como determinado na questão, pois sabemos o comportamento assintótico de f ( x ) .

Resposta

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