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Demonstre cada afirmação usando a definição ϵ , δ de limite.

lim x → 0 ⁡ x 3 = 0

Passo 1

Em geral não precisamos calcular limites pela definição, porém é isso que o exercício pede. Segue então a definição precisa de limite diz que lim x → a ⁡ f ( x ) = L se

“Para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 tal que se 0 < x - a < δ , então f x - L < ϵ

Não se assuste com ela, o que ela basicamente diz é que devemos achar um δ em função de ϵ tal que 0 < x - a < δ implica f x - L < ϵ .

Passo 2

Neste passo vamos conjecturar um valor para δ como se estivéssemos fazendo um esboço.

Seja ϵ > 0 um número dado, devemos achar δ > 0 tal que

se 0 < x - a < δ então f ( x ) - L < ϵ

Como neste caso L = 0 , a = 0 e f x = x 3 , devemos achar δ tal que

se 0 < x - 0 < δ então x 3 - 0 < ϵ

Assim, devemos achar δ > 0 tal que

se 0 < x < δ então x 3 < ϵ

Devemos agora procurar uma relação para δ que satisfaça o exposto acima. Notemos que se x < δ , então segue que x 3 < δ 3 . Assim, se tomarmos δ 3 = ϵ , a relação é satisfeita. Desta forma, vamos escolher δ = ϵ 3 . No próximo passo provaremos que essa escolha é suficiente para demonstramos o limite.

Passo 3

Se tomarmos δ = ϵ 3 , temos que se 0 < x - 0 < δ = ϵ 3 , então | x - 0 | 3 = x 3 < ϵ 3 3 = ϵ . Provamos assim que o limite existe e vale 0 .

Resposta

Demonstração.

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