Enunciado

Devido a sua conexão com retas secante, tangente e taxas instantâneas, os limites da forma

lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Ocorrem com frequência em cálculo. Nos exercícios 57-62, avalie esse limite para os valores dados de x e a função f

f x = x ,   x = 7

Passo 1

Como x = 7 , vamos achar as expressões de f ( 7 + h ) e de f ( 7 ) . Depois vamos montar o limite e o resolver.

Passo 2

Como f x = x , temos que

f 7 = 7

f 7 + h = 7 + h

Passo 3

Vamos montar o limite, seguindo a fórmula do enunciado

lim h → 0 ⁡ 7 + h - 7 h

Passo 4

Agora vamos tentar resolver o limite. A primeira coisa que devemos tentar é substituir direto e ver se vai dar um número

lim h → 0 ⁡ 7 + h - 7 h = 7 + ( 0 ) - 7 0 = 0 0

Vamos manipular o limite. Como temos raiz no numerador, vamos multiplicar pelo conjugado, que nesse caso é:

7 + h + 7

Então,

7 + h - 7 h ( 7 + h + 7 ) ( 7 + h + 7 )   = ( 7 + h - 7 ) ( 7 + h + 7 ) h ( 7 + h + 7 )

Agora vamos lembrar do caso de diferença de quadrados, isso é

a - b a + b = a 2 - b 2

Comparando as expressões, temos que a = 7 + h e b = 7 . Assim

( 7 + h - 7 ) ( 7 + h + 7 ) h ( 7 + h + 7 ) = 7 + h 2 - 7 2 h ( 7 + h + 7 ) = h h ( 7 + h + 7 ) = 1 ( 7 + h + 7 )

Agora juntando tudo e substituindo o valor do ponto, temos

lim h → 0 ⁡ 7 + h - 7 h = lim h → 0 ⁡ 1 ( 7 + h + 7 ) = 1 ( 7 + 0 + 7 ) = 1 2 7 = 7 14

Resposta

7 14

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