Enunciado

Uma fornalha para a produção de cristais é usada em uma pesquisa para determinar a melhor maneira de manufaturar os cristais utilizados em componentes eletrônicos para os veículos espaciais. Para a produção perfeita do cristal, a temperatura da deve ser controlada precisamente, ajustando-se a potência de entrada. Suponha que a relação seja dada por

T w = 0,1 w 2 + 2,155 w + 20

onde T é a temperatuda em gruas Celsius e w é a potência de entrada em watts.

Qual a potência necessária para manter a temperatura em 200 ° C ?

Se for permitida uma variação de ± 1 ° C a partir dos 200 ° C , qual será o intervalo de potência permitido para a entrada?

Em termos da definição de ε , δ de lim x → a ⁡ f ( x ) = L , o que é x ? O que é f ( x ) ? O que é a ? O que é L ? Qual o valor de ε dado? Qual o valor correspondente de δ ?

Passo 1

E aí, tudo bem?! Aqui temos a função:

T w = 0,1 w 2 + 2,155 w + 20

Onde T é a temperatura da de uma fornalha, em gruas Celsius e w é a potência de entrada em watts.

Sabendo disso temos que responder algumas perguntinhas:

  • Qual é o valor de w pra 200 ° C ;
  • Para uma variação de ± 1 ° C em torno de T = 200 ° C   qual será o intervalo em torno de w ;
  • Para a definição de ε , δ de lim x → a ⁡ f ( x ) = L quem é cada variável.

A primeira é muito simples, só temos que substituir T na fórmula e pra calcular w e definir uma função. A resposta vai tá na raiz dessa função! Podemos fazer isso com Bháskara mas vamos usar o método mais simples!

Vamos plotar a função e verificar suas raízes graficamente!

Mas pode isso?!

Nesse problema temos um sinalzinho rosa do lado do enunciado, isso significa que podemos pedir a ajuda de um software gráfico! Que pode ser tanto um programa quanto um site.

A segunda parece muito complicada, mas não é!

Na na letra (b) vamos plotar o gráfico de T w traçar o intervalo de T dado e verificar o intervalo correspondente no eixo x . Essa vai ser a nossa resposta!

Finalmente na letra (c) vamos usar a seguinte definição de limite:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Então para todo número ε > 0 , temos δ > 0 , tal que se:

0 < x - a < δ

Então:

f x - L <   ε

Aqui o negócio vai ser parar, analisar, pensar e dar os nomes aos bois!

Passo 2

Vamos começar com a letra (a) :

T w = 0,1 w 2 + 2,155 w + 20

Temos apenas que igualar a expressão a 200 , vamos lá:

0,1 w 2 + 2,155 w + 20 = 200

0,1 w 2 + 2,155 w - 180 = 0

Temos então a função:

f x = 0,1 x 2 + 2,155 x - 180

Plotando o gráfico:

Temos as raízes:

x = 32 , 998

x = - 54,548

Como a potência tem que ser positiva, então:

w = 32,998   w a t t s

Passo 3

Agora a gente vai considerar uma variação de ± 1 ° C em torno de T = 200 ° C   e queremos saber qual vai ser a variação de w . Para isso vamos plotar:

T w = 0,1 w 2 + 2,155 w + 20

Marcar duas retas horizontais ± 1 ° C em torno de T = 200 ° . Analisar os pontos que essas retas interceptam a curva e checar os valores de w correspondentes. As nossas retas serão:

T = 199

T = 200

Assim temos:

Pra achar onde essas retas interceptam a curva vamos dar um zoom:

Assim temos que:

32,89 < w < 33,1

Foi a letra (b)!

Passo 4

Agora temos que escrever o limite na forma:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

A nossa função é:

T w = 0,1 w 2 + 2,155 w + 20

Quando nos aproximamos de:

w = 32,998   w a t t s

A temperatura tende a:

T = 200 ° C

Então:

x = w = 32,998  

a = 32,998  

L = T = 200

Assim:

lim w → 32,998 ⁡ 0,1 w 2 + 2,155 w + 20 = 200

Agora vamos pensar quem é o ε e quem é o δ . Lembrando que:

0 < x - a < δ

f x - L <   ε

Então faz sentido inferir que ε é a tolerância da temperatura que foi dada no enunciado:

ε = ± 1 ° C

E δ é a tolerância na potência de entrada indicada na letra (b):

32,89 < w < 33,1

Só que aqui o nosso intervalo não é simétrico, então a gente vai calcular a diferença de cada extremo com w = 32,998   w a t t s pra definir o intervalo mais conservador:

32,98 - 32,998 = - 0,108

33,1 - 32,998 = 0,21

O menor valor em módulo aqui é o que vale, então:

δ = 0,108

Ufaaaa! Acabou!

Resposta

(a) w = 32,998 watts

(b) 32,89 < w < 33,11

(c) x é a potência de entrada, f x é a temperatura, a é a potência de entrada pedida na letra (a), L é a tempetura atingida ( 200 ) , ε é a tolerância da temperatura igual a 1 , e δ é a tolerância na potência de entrada igual a 0,108 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a inequação.2 x - 1 = 5 x + 3
Resolva a inequação.1 - 3 x0
Resolva a inequação.x - 33 x + 1
Estude o sinal da expressão.3 - x
Estude o sinal da expressão.3 x - 1 0