Enunciado

Demonstre cada afirmação usando a definição ϵ , δ de limite.

lim x → a ⁡ c = c

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos demonstrar que:

lim x → a ⁡ c = c

Usando a definição formal de limite, que envolve ε   e δ .

Essa definição nos diz que:

lim x → a ⁡ f x = L

Se para todo número ε > 0 houver um número δ > 0 tal que se:

0 < x - a < δ

Então:

f x - L < ε

Primeira coisa que fazemos é achar um valor para δ apenas manipulando a inequação que tem o ε e depois comparando a inequação que tem o δ .

Depois mostramos que esse δ funciona.

Passo 2

- Achando um valor para δ :

Na nossa questão:

a = a

L = c

Então queremos achar um número δ tal que se

0 < x - a < δ

Então:

c - c < ε

0 < ε

Como o módulo de zero é zero:

0 < ε

Pooo... mas não tem x e nem a . Como que vamos comparar com a outra inequação? Repara que chegamos na própria definição que é de ε > 0 , então podemos escolher qualquer δ maior que zero, que vai ser sempre verdade.

Escolhendo, de forma simbólica:

δ = ε 2

Passo 3

- Mostrando que esse valor de δ funciona:

Com a escolha de:

δ = ε 2

Queremos garantir que x - a < δ implica em c - c < ε .

A diferença entre c e c é zero, né? Isso porque c é uma constante, então não importa qual valor de x estamos usando, a função sempre retorna c .

Como a diferença entre c e c é zero, então:

c - c = 0

O que certamente é menor que qualquer ε > 0 .

Então, escolhendo δ = ε 2 , garantimos que x - a < δ implica c - c < ε , como queríamos.

Portanto:

lim x → a ⁡ c = c

Resposta

Demonstração.

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