Enunciado

Se a função f for definida por

f x = 0 ,       s e   x   é   r a c i o n a l 1 ,     s e   x   é   i r r a c i o n a l

demonstre que lim x → 0 ⁡ f ( x ) não existe.

Passo 1

Falaii galerinha, bora resolver mais uma ?

O exercício pede para provarmos que o limite não existe, no caso da nossa função abaixo:

f x = 0 ,       s e   x   é   r a c i o n a l 1 ,     s e   x   é   i r r a c i o n a l

Parece intuitivo que este limite não deveria existir, uma vez que, próximo de zero, há uma infinidade de números racionais e irracionais tão próximos quanto desejado. Isso resulta em uma função que oscila intensamente entre 0 e 1.

Mesmo sendo algo intuitivo, devemos provar isso rigorosamente usando a definição de limite, que diz que lim x → a ⁡ f ( x ) = L se, e somente se, para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 tal que se

0 < x - a < δ , então f x - L < ϵ

Reconhecemos que pode parecer extremamente complexo e estranho à primeira vista, mas, em essência, o que a definição está dizendo é que, para qualquer número positivo ϵ, você deve ser capaz de encontrar um δ (que pode depender de ϵ) tal que

0 < x - a < δ   ⇒ f x - L < ϵ

Como queremos provar que o limite não existe, vamos supor que ele existe e tentar chegar em alguma contradição.

Passo 2

Antes de qualquer coisa, vamos adaptar a definição de limite para o nosso caso.

Para provar que o limite existe e vale L , para todo ϵ > 0 , devo conseguir encontrar um δ > 0 tal que

0 < x - 0 < δ ⇒ f ( x ) - L < ϵ

Como estamos supondo que o limite existe e vale L , a relação acima é válida para todo ϵ .

Vamos ver então o que acontece com um ϵ particular (se vale para todos, deve valer para algum). Tomemos então ϵ = 1 / 2 .

Assim, deve existir um δ > 0 tal que

0 < x < δ ⇒ f x - L < 1 2

0 < x < δ ⇒ - 1 2 < f x - L < 1 2

0 < x < δ ⇒ L - 1 2 < f x < L + 1 2

Assim, para todo x entre - δ e δ , f ( x ) deve estar entre L - 1 / 2 e L + 1 / 2 .

Observe a parte que eu grifei no período anterior: “para todo x ”, ou seja, pode ser racional ou irracional.

Vamos tomar um x ∈   ] - δ , δ [ em particular que seja racional, assim, f x = 1 e como f x < L + 1 / 2 , temos que 1 < L + 1 / 2 , de modo que L > 1 / 2 .

Por outro lado, podemos tomar um x ∈   ] - δ , δ [ que seja irracional, de modo que f x = 0 . Como L - 1 / 2 < f ( x ) , temos que L - 1 / 2 < 0 , de modo que L < 1 / 2 .

Como pode L ser maior e menor que 1/2 ao mesmo tempo?

Isso é claramente uma contradição!

A conclusão é evidente: o limite simplesmente não pode existir!

Resposta

Demonstração.

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Primeiro racionalize o numerador, depois encontre o limite.38. lim x → 0 ⁡ x 2 + 4 - 2 x
Sejaf (x) = (x^3 - 1)/(x - 1) (a)Encontre underset(x - 1)(lim) f ( x ) (b)Esboce o gráfico de y = f ( x )
Primeiro racionalize o numerador, depois encontre o limite.37. lim x → 0 ⁡ x + 4 - 2 x
Encontre todos os valores de a com os quais existe lim x → 1 ⁡ 1 x - 1 - a x 2 - 1 e é finito.
(a) Explique informalmente por que lim x → 0 - ⁡ 1 x + 1 x 2 = + ∞ (b) Verifique algebricamente o limite da parte (a).