Enunciado

Demonstre cada afirmação usando a definição ϵ , δ de limite.

lim x → 3 ⁡ ( x 2 + x - 4 ) = 8

Passo 1

Eu sei que você deve odiar demonstrar um limite usando a definição, mas é isso que a questão pede, então não tem muito que possamos fazer....

Vamos lá, da definição de limite usando a = 3 , f x = x 2 + x - 4 e L = 8 , temos que a afirmação é verdadeira se para todo número ϵ > 0 , eu conseguir encontrar um número δ > 0 (em função de ϵ ) tal que

0 < x - 3 < δ ⇒ x 2 + x - 4 - 8 < ϵ

Ou ainda,

0 < x - 3 < δ ⇒ x 2 + x - 12 < ϵ

Então nosso objetivo é encontrar uma expressão para δ em função de ϵ que satisfaça a condição acima!!!

Passo 2

Antes de mais nada, precisamos resolver a equação x 2 + x - 12 = 0 . Resolvendo ela, obtemos as raízes x = - 4 e x = 3 , assim x 2 + x - 12 = ( x + 4 ) ( x - 3 ) . Desta forma, a relação que devemos satisfazer para demonstrar o limite é

0 < x - 3 < δ ⇒ x + 4 ⋅ x - 3 < ϵ

Como tomamos o limite com x próximo de 3 , podemos tentar algo do tipo x - 3 < 1 . Assim, - 1 < x - 3 < 1 . Vamos somar 7 em todos os membros para obter alguma relação envolvendo o x + 4 :

- 1 + 7 < x - 3 + 7 < 1 + 7

6 < x + 4 < 8

Assim, x + 4 < 8 . Uma escolha que se mostrará suficiente é δ = min ⁡ 1 , ϵ 8 . Ela será suficiente pois δ ≤ 1 e δ ≤ ϵ / 8 simultaneamente, de modo que x - 3 < 1 ⇒ x + 4 < 8 e, além disso, x - 3 < ϵ / 8 . Isso será suficiente para demonstrar o limite como veremos no próximo passo.

Passo 3

Vamos provar agora que a escolha δ = min ⁡ 1 , ϵ 8 serve para demonstrar o limite!!!

Como visto, sabemos que δ ≤ 1 e δ ≤ ϵ / 8 o que significa que x - 3 < 1 ⇒ x + 4 < 8 . E, vimos também que com essa escolha, x - 3 < ϵ / 8 . Assim,

x + 4 ⋅ x - 3 < 8 ⋅ ϵ 8 = ϵ

Assim, com essa escolha de δ , vale sempre que

0 < x - 3 < δ ⇒ x + 4 ⋅ x - 3 < ϵ

Provamos então o limite!!!

Resposta

Demonstração.

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