Enunciado

Demonstre cada afirmação usando a definição ϵ , δ de limite.

lim x → 9 - ⁡ 9 - x 4 = 0

Passo 1

Olá, caro colega. Pronto para essa resolução?

O enunciado pede para calcular o limite usando a definição formal.

A definição precisa de limite diz que

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Se “Para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 tal que se 0 < x - a < δ , então f x - L < ϵ

Vamos utilizar essa definição para provar o limite:

lim x → 9 - ⁡ 9 - x 4 = 0

O que devemos fazer é achar uma relação para δ (em função de ϵ ) tal que a primeira afirmação ( 0 < x - a < δ ) implique na segunda ( f x - L < ϵ ).

Então, basicamente, o limite nos diz para onde a função está indo à medida que nos aproximamos de um ponto específico, mesmo que ela possa nunca realmente chegar lá. É como se estivéssemos observando o comportamento da função bem de perto, mas sem realmente atingir aquele ponto exato.

E �� isso que vamos fazer de forma geral, ao chegarmos perto de um ponto:

0 < x - a < δ

Isso implicará que nossa função chegar perto de um número:

f x - L < ϵ

Passo 2

Neste passo vamos conjecturar um valor para δ como se estivéssemos fazendo um esboço.

Como desta vez estamos calculando um limite lateral pela esquerda, a definição é ligeiramente modificada: Seja ϵ > 0 um número dado, devemos achar δ > 0 tal que

se

a - δ < x < a

Então

f ( x ) - L < ϵ

Como neste caso L = 0 , a = 9 e f x = 9 - x 4 , devemos achar δ tal que:

se

9 - δ < x < 9

Então

9 - x 4 - 0 < ϵ

Assim, devemos achar δ > 0 tal que

Se

9 - δ < x < 9

Então

9 - x 4 < ϵ

Se queremos que

9 - x 4 < ϵ

então

9 - x < ϵ 4

ou ainda,

9 - ϵ 4 < x

Além disso, como o limite é tomado pela esquerda, temos que x < 9 . Assim, temos que

9 - ϵ 4 < x < 9

Desta forma, podemos tomar δ = ϵ 4 . Na próxima passo mostramos que essa escolha é suficiente para demonstramos o limite.

Passo 3

Se tomarmos δ = ϵ 4 , temos que se

9 - δ < x < 9

então

9 - ϵ 4 < x

de modo que

9 - x < ϵ 4

o que implica em

9 - x 4 < ϵ

Assim provamos que o limite é 0 .

Resposta

Demonstração.

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