Enunciado

Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.

33) lim x → - 1 ⁡ x 2 - 1 x + 1 = - 2

Passo 1

Para satisfazer a Definição 2.1.1 precisamos mostrar que para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 . Para começar vamos definir os valores de f x ,   a   e   L . Dada a definição de limite:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Assumimos que:

f x = x 2 - 1 x + 1 = ( x + 1 ) ( x - 1 ) x + 1 = ( x - 1 )

a = - 1

L = - 2

Sendo assim:

0 < x + 1 < δ

f x + 2 < ϵ

Para encontrar um δ > 0 o primeiro passo é substituir f x na desigualdade:

Passo 2

Substituindo f x :

x - 1 + 2 < ϵ

x + 1 < ϵ

Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:

x + 1 < δ

Substituindo:

x + 1 < ϵ

δ < ϵ

Isso significa que ϵ é um valor satisfatório para δ . Assim, estabelecemos que tendo escolhido δ = ϵ , para todo   ϵ > 0 , a seguinte afirmativa é verdadeira:

se

0 < x + 1 < δ

então

f x + 2 < ϵ

Isso prova que

lim x → - 1 ⁡ x 2 - 1 x + 1 = - 2

Resposta

δ = ϵ

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Prove o Teorema5.4 . 4 .
Calcule os limites. lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 x
Calcule os limites.(b) lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 3 x x
Seja f x = 1 + x 2 1,1 x 2 Faça um gráfico de f na janela - 1,1 × [ 2,5 ; 3,5 ] E use sua calculadora para fazer uma conjectura sobre o limite de f x quando x → 0 .Faça um gráfico de f na janela - 0,0
Suponha que feg sejam duas funções tais que exista lim x → a ⁡ f ( x ) e lim x → a ⁡ f x + g x . Use o Teorema 1.2.2 para provar que lim x → a ⁡ g ( x ) existe.