Enunciado

Demonstre cada afirmação usando a definição ϵ , δ de limite.

lim x → 0 ⁡ x 3 = 0

Passo 1

Bom galerinha!

Quando a gente tá falando de limite, não estamos no ponto x = a , nós estamos beeem pertinho dele. Mas sobre isso a gente já tá bem tranquilo ne?

Quão próximo de a deverá estar x para que f ( x ) difira de L por menos que uma tolerância ε bem pequeno ?

Vamos lembrar de uma definição importante de limite:

Em palavras mais fáceis e menos assustadoras, a gente tá dizendo que pra existir esse limite:

lim x → a ⁡ f x = L

A gente precisa provar o seguinte:

Que dado um pequeno intervalo L - ε   ,   L + ε ao redor de L , há de conseguir achar um valorzinho pra δ , que qualquer x dentro desse outro intervalinho ( a - δ , a + δ ) retorne na função um valor dentro do primeiro intervalo L - ε   ,   L + ε .

Na prática, você precisa dessas duas inequações que aparecem ali dentro da caixinha rosa:

se 0 < x - a < δ então f x - L < ε

Agora aplicando isso na nossa expressão:

lim x → 0 ⁡ x 3 = 0

se 0 < x - 0 < δ então x 3 - 0 < ε

Agora nós precisamos achar δ > 0 que atenda essas condições!

Passo 2

Bem, já vimos que:

se 0 < x - 0 < δ então x 3 - 0 < ϵ

Assim, devemos achar δ > 0 tal que

se 0 < x < δ então x 3 < ϵ

Devemos agora procurar uma relação para δ que satisfaça o exposto acima.

Presta atenção nessa dica! A gente sempre vai começar essa demonstração pela inequação que tem o ϵ :

x 3 < ϵ

E vamos manipular ela pra chegar na outra inequação. Vamos aplicar raiz cúbica em tudo:

x < ϵ 3

Opa isso aqui tá bem parecido com aquilo que a gente queria encontrar hein, olha só!

A gente tava procurando um valor δ que atendesse à seguinte inequação:

0 < x < δ

Assim, se tomarmos δ = ϵ 3 , a relação é satisfeita!

No próximo passo provaremos que essa escolha é suficiente para demonstramos o limite.

Passo 3

Se tomarmos δ = ϵ 3 , temos que se

0 < x - 0 < δ = ϵ 3

Então

x - 0 3 = x 3 < ϵ 3 3 = ϵ

Provamos assim que o limite existe e vale 0 .

Resposta

Demonstração.

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