Enunciado

Demonstre que underset(x -> 0)(l i m) x^4 . cos (2)/(x) = 0 .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos demonstrar a seguinte igualdade:

underset(x -> 0)(l i m) x^4 cos (2)/(x) = 0

A gente não pode simplesmente fazer x = 0 pois iria gerar uma indeterminação (divisão por zero).

Também fica complicado a gente manipular a expressão. E agora???

Caaalma!!

Em situações em que não conseguimos apenas manipular a função do limite, convem procurar testar se o teorema do confronto não pode ser aplicado.

Ele serve muito bem em situações em que temos funções trigonometricas que costumam ser limitadas, mas não apenas com elas.

O teorema do confronto diz que:

Sejam f (x) , g (x) e h ( x ) , funções reais definidas no dominio D in R e seja a um ponto dentro desse dominio, se:

g (x) <= f (x) <= h ( x )

E

underset(x -> a)(lim) g (x) = underset(x -> a)(lim) h (x) = L

Então

underset(x -> a)(lim) h (x) = L

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Muito bem galera, sabemos que a função cosseno está limitada pelo intervalo [-1,1]:

- 1 <= cos (2)/(x) <= 1

Até aqui tudo muito tranquilo, mas não é isso que queremos, nós precisamos saber os intervalos de x^4 . cos (2)/(x) . Então o que fazemos?

Multiplicamos todos os três termos da inequação por x^4 :

- x^4 <= x^4 cos (2)/(x) <= x^4

Agora ficou bom! Vamos analisar o limite inferior:

underset(x -> 0)(l i m) - x^4

underset(x -> 0)(l i m) - x^4 = 0^4 = 0

Analisar o limite superior:

underset(x -> 0)(l i m) x^4 = 0^4 = 0

Ou seja, o limite foi o mesmo para ambos os extremos, então o limite da função é 0 pelo teorema do confronto!! 😉

Resposta

underset(x -> 0)(l i m) x^4 . cos (2)/(x) = 0

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Se f x ≤ k x - a para todo x ≠ a , onde k é uma constante prove que lim x → a ⁡ f x = 0
Suponha que f x ≤ M para todo x , onde M é uma constante. Além disso, suponha que lim x → a ⁡ g x = 0 . Use o teorema do “sanduíche” para provar que lim x → a ⁡ f x g x = 0
Prove que a função co-tangente é contínua em seu domínio.
48.Seja f x = x 2 + 1 s ex1 x - 2 2s ex ≥ 1 Encontre lim x → 1 - ⁡ f ( x ) e lim x → 1 + ⁡ f ( x ) . lim x → 1 ⁡ f ( x ) existe?Esboce o gráfico de f .
Encontre o lim x → ∞ ⁡ f ( x ) se 4 x - 1 xf ( x )4 x 2 + 3 x x 2 Para todo x5 .