Demonstre que lim (x → 0) x^4 \* cos(2 / x) = 0

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos demonstrar a seguinte igualdade:

l i m x → 0   x 4 cos ⁡ 2 x = 0

A gente não pode simplesmente fazer x = 0 pois iria gerar uma indeterminação (divisão por zero).

Também fica complicado a gente manipular a expressão. E agora???

Caaalma!!

Em situações em que não conseguimos apenas manipular a função do limite, convem procurar testar se o teorema do confronto não pode ser aplicado.

Ele serve muito bem em situações em que temos funções trigonometricas que costumam ser limitadas, mas não apenas com elas.

O teorema do confronto diz que:

Sejam f x ,   g x e   h ( x ) , funções reais definidas no dominio D   ∈ R e seja a um ponto dentro desse dominio, se:

g x ≤ f x ≤ h ( x )

E

lim x → a ⁡ g x = lim x → a ⁡ h x = L

Então

lim x → a ⁡ h x = L

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Muito bem galera, sabemos que a função cosseno está limitada pelo intervalo [-1,1]:

- 1 ≤ cos ⁡ 2 x ≤ 1

Até aqui tudo muito tranquilo, mas não é isso que queremos, nós precisamos saber os intervalos de x 4 . cos ⁡ 2 x . Então o que fazemos?

Multiplicamos todos os três termos da inequação por x 4 :

- x 4 ≤ x 4 cos ⁡ 2 x ≤ x 4

Agora ficou bom! Vamos analisar o limite inferior:

l i m x → 0   - x 4

l i m x → 0   - x 4 = 0 4 = 0

Analisar o limite superior:

l i m x → 0   x 4 = 0 4 = 0

Ou seja, o limite foi o mesmo para ambos os extremos, então o limite da função é 0 pelo teorema do confronto!! 😉

Resposta

l i m x → 0   x 4 . cos ⁡ 2 x = 0

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