Enunciado

Se 4 x - 9 ≤ f x ≤ x 2 - 4 x + 7 para x ≥ 0 , encontre l i m x → 4   f x .

Passo 1

Eaee, belezinha???

Bom... queremos determinar o seguinte limite:

l i m x → 4   f x

E a única coisa que a gente sabe é que, para x ≥ 0 :

4 x - 9 ≤ f x ≤ x 2 - 4 x + 7

Tem ideia de como fazemos isso?

Muito bem galera, sabemos que a função f está limitada superiormente por x 2 - 4 x + 7 e inferiormente por 4 x - 9 .

Então, para encontrar o limite da função vamos avaliar o limite quando x tende a 4 para ambos os extremos, que é o Teorema do Confronto!!

Lembrando que o teorema do confronto diz que:

Sejam f x ,   g x e   h ( x ) , funções reais definidas no dominio D ∈ R e seja a um ponto dentro desse dominio, se:

g x ≤ f x ≤ h ( x )

E

lim x → a ⁡ g x = lim x → a ⁡ h x = L

Então

lim x → a ⁡ h x = L

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Começando pelo extremo inferior:

l i m x → 4 4 x - 9  

Usando a propriedade 2:

l i m x → 4 4 x - 9 = l i m x → 4 4 x - l i m x → 4 9

Agora vamos usar a propriedade de número 3:

l i m x → 4 4 x - l i m x → 4 9 = 4 l i m x → 4 x - l i m x → 4 9

Usando a de número 7 e 8:

4 l i m x → 4 x - l i m x → 4 9 = 4.4 - 9 = 7

Portanto, o limite inferior é

l i m x → 4 4 x - 9 = 7

Sacou?

Passo 3

Para o extremo superior:

l i m x → 4 x 2 - 4 x + 7

Usando as propriedades 1 e 2:

l i m x → 4 x 2 - 4 x + 7 = l i m x → 4   x 2 - l i m x → 4   4 x + l i m x → 4   7

Agora a propriedade de número 3:

l i m x → 4   x 2 - l i m x → 4   4 x + l i m x → 4   7 = l i m x → 4   x 2 - 4 l i m x → 4   x + l i m x → 4   7

Usando a de número 7 e 8:

l i m x → 4   x 2 - 4 l i m x → 4   x + l i m x → 4   7 = l i m x → 4   x 2 - 4 . 4 + 7

Agora vamos aplicar a última, número 9:

l i m x → 4   x 2 - 4 . 4 + 7 = 4 2 - 9 = 7

Logo, o limite superior é

l i m x → 4 x 2 - 4 x + 7 = 7

Olha só que legal! O limite foi o mesmo para ambos os extremos, então, pelo teorema do confronto, o limite da função é 7!

l i m x → 4   f x = 7

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

l i m x → 4   f x = 7

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