Enunciado

Sejam f e g funções lineares com equações f x = m 1 x + b 1 e g x = m 2 x + b 2 . A função f ∘ g também é linear? Em caso afirmativo, qual a inclinação de seu gráfico?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu duas funções lineares, f x = m 1 x + b 1 e g x = m 2 x + b 2 , e pediu pra gente verificar se a composição dessas funções na forma f ∘ g também é linear. E determinar a inclinação de seu gráfico.

Beleza, pra isso a gente tem que lembrar que a composição f ∘ g também pode ser escrita na forma:

f ∘ g = f g x

Então, g ( x ) é a nossa função mais interna e f é a nossa função mais externa. Além disso, precisamos lembrar que uma função linear vai ser escrita na forma:

y = m x + b

Onde m é o chamado coeficiente angular da reta, que é uma constante assim como b .

Então, o que nós vamos fazer é substituir g ( x ) dentro de f ( x ) para encontrar a nossa composição e verificar se o resultado tem a forma y = m x + b . Se tiver, podemos dizer que f ∘ g também é linear e encontraremos a inclinação da reta.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar substituindo as funções dadas no enunciado em f g x :

f ∘ g = f g x

Como g x = m 2 x + b 2 , temos:

f ∘ g = f m 2 x + b 2

Mas f m 2 x + b 2 é o valor da função f quando x = m 2 x + b 2 . Então, substituindo esse x em f x = m 1 x + b 1 , teremos:

f ∘ g = m 1 m 2 x + b 2 + b 1

Aplicando a distributiva nos produtos:

f ∘ g = ( m 1 ⋅ m 2 ) x + m 1 ⋅ b 2 + b 1

Agora repare que x está multiplicando apenas o produto de constantes, que tem como resultado uma constante. E que do lado direito do sinal de mais, também temos apenas constantes. Olha só:

f ∘ g = ( m 1 ⋅ m 2 ) ⏟ m 3 x + ( m 1 ⋅ b 2 + b 1 ⏟ c 3 )

Dessa forma, podemos escrever:

f ∘ g = m 3 x + c 3

Perceba que isso é justamente uma função linear com inclinação m 3 = m 1 ⋅ m 2 , e resolvemos nosso problema.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f ∘ g   t a m b é m   é   l i n e a r   e   p o s s u i   i n c l i n a ç ã o   m 1 ⋅ m 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Avalie cada expressão abaixo utilizando a tabela de valores a seguir f g - 1 g f 0 f f - 1 g g 2 g f - 2 f g 1
Avalie cada expressão abaixo utilizando a tabela de valores a seguir f g - 1 g f 0 f f - 1 g g 2 g f - 2 f g 1
Uma empresa de eletricidade cobra de seus clientes uma taxa-base de U S $10 mensais, mais 6 centavos por quilowatt-hora ( k W h ) para os primeiros 1200k W h e 7 centavos para todo uso acima de 1200k
Um plano de telefone tem uma taxa de U S $35 mensais. O plano inclui 400 minutos gratuitos e taxa de 10 centavos para cada minuto adicional utilizado. Expresse o custo mensal C como uma função do núme
Em uma certa província, a velocidade máxima permitida em estradas é de 100k m / h e a velocidade mínima é 50k m / h . A multa por violar esses limites é de U S $10 por cada quilometro por hora acima d