Enunciado

Demonstre a fórmula A = 1 2 r 2 θ para a área de um setor circular com raio r e ângulo central θ .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente demonstrar que a área de um setor circular de raio r e ângulo central θ , é dada por A = 1 2 r 2 θ .

Para isso, vamos usar a figura que o enunciado nos deu:

Vamos dividir a figura em duas áreas, a primeira é a área do triângulo com um sombreado mais claro. A segunda área será o setor circular, onde a função que define a curva é a equação da circunferência:

x 2 + y 2 = r 2

Com isso, vamos isolar y , calcular a segunda área A 2 , através da integral e somar com a primeira área A 1 .

Vamos lá!

Passo 2

Podemos calcular a primeira área, usando a fórmula de área do triângulo ( A = b a s e ∙ a l t u r a 2 ). Assim, temos:

A 1 = 1 2 r cos ⁡ θ r sin ⁡ θ

A 1 = 1 2 r 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Passo 3

Para a segunda área, primeiramente precisamos encontrar uma função que define a curva e depois integramos pra calcular a área. Como a função que define a curva é um circulo, temos:

x 2 + y 2 = r 2

Então, podemos isolar y da seguinte forma:

y = r 2 - x 2

Agora vamos integrar essa função para encontrar nossa área:

A 2 = ∫ r cos ⁡ θ r r 2 - x 2   d x

Passo 4

Vamos resolver esta integral fazendo uma substituição trigonométrica. Fazendo:

x = r cos ⁡ t

Diferenciando, temos que :

d x = - r sin ⁡ t d t

Precisamos calcular os novos limites de integração:

t i n f e r i o r :       r cos ⁡ θ = r cos ⁡ t ∴ t = θ

t s u p e r i o r :       r = r cos ⁡ t ∴ t = 0

Substituindo na integral, temos:

∫ r cos ⁡ θ r r 2 - x 2   d x = ∫ θ 0 r 2 - r 2 cos 2 ⁡ t   - r sin ⁡ t d t

= ∫ 0 θ r 2 ( 1 - cos 2 ⁡ t   r sin ⁡ t d t

Usando a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ t = 1 - cos 2 ⁡ t :

∫ 0 θ r 2 sin 2 ⁡ t r sin ⁡ t d t

Cortando a raiz com o expoente ao quadrado e multiplicando os termos, temos:

∫ 0 θ r 2 sin 2 ⁡ t d t

Como a integral é em relação a t , podemos colocar o termo que tem r do lado de fora da integral:

r 2 2 ∫ 0 θ 1 - cos ⁡ 2 t d t

Assim, integrando, teremos:

r 2 2 t - 1 2 sin ⁡ 2 t 0 θ

= r 2 2 t - sin ⁡ t cos ⁡ t 0 θ

E aplicando os limites de integração:

A 2 = r 2 2 θ - r 2 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Passo 5

Agora, para encontrar a área total, basta somarmos as áreas. Então:

A = A 1 + A 2

A = 1 2 r 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + r 2 2 θ - 1 2 r 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Simplificando:

A = 1 2 r 2 θ

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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